連續集

連續集是測度論中的概念。給定測度${\displaystyle \mu }$中的波萊爾集${\displaystyle \mathbf {B} }$是連續集若且唯若：

${\displaystyle |\mu |(\partial B)=0\,.}$

在測度${\displaystyle \mu }$上的所有連續集的集合構成一個環^[1]。

類似地，對一個給定的隨機變量${\displaystyle \mathbf {X} }$，一個波萊爾集${\displaystyle \mathbf {B} }$是連續集，若且唯若

${\displaystyle \mathbb {P} (X\in \partial B)=0,}$

否則稱${\displaystyle \mathbf {B} }$為不連續集。所有不連續集的集合是稀疏的。特別的，對於兩兩不交的波萊爾集的集合，其中至多有可數多個集合是不連續集^[2]。

對於拓撲上的映射${\displaystyle f}$，其連續集${\displaystyle C(f)}$是指其所有的連續點的集合：

${\displaystyle C(f)=\{x|\,f\,}$在${\displaystyle x}$處連續${\displaystyle \}}$

參考來源

1. Cuppens, R. (1975) Decomposition of multivariate probability. Academic Press, New York.
2. van der Vaart (1998) Asymptotic statistics. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-78450-4. Page 7