路徑排序

路徑排序在理論物理中表示將多個算符的乘積按照某個給定的參數重新排序的過程（可以視作一個元算符（英語：meta-operator））：

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left[O_{1}(\sigma _{1})O_{2}(\sigma _{2})\dots O_{N}(\sigma _{N})\right]:=O_{p_{1}}(\sigma _{p_{1}})O_{p_{2}}(\sigma _{p_{2}})\dots O_{p_{N}}(\sigma _{p_{N}}).}$

式中 ${\displaystyle p:\{1,2,\dots ,N\}\to \{1,2,\dots ,N\}}$ 是一個對參數排序的置換，使得：

${\displaystyle \sigma _{p_{1}}\leq \sigma _{p_{2}}\leq \dots \leq \sigma _{p_{N}}.}$

例如：

${\displaystyle {\mathcal {P}}\left[O_{1}(4)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{4}(1)\right]:=O_{4}(1)O_{2}(2)O_{3}(3)O_{1}(4).}$

如果算符並非上面這種簡單乘積的形式，就需要先作泰勒展開，然後對展開式中的每一項進行路徑排序。

時間排序

在量子場論中經常需要對算符進行時間排序，這一操作用原算符 ${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 表示。對於分別依賴於兩個時空點 x 和 y 的算符 ${\displaystyle A(x)}$ 和 ${\displaystyle B(y)}$ 而言，${\displaystyle {\mathcal {T}}}$ 的定義如下：

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left[A(x)B(y)\right]:=\left\{{\begin{matrix}A(x)B(y)&{\textrm {if}}&x_{0}>y_{0}\\\pm B(y)A(x)&{\textrm {if}}&x_{0}<y_{0}.\end{matrix}}\right.}$

這裏 ${\displaystyle x_{0}}$ 和 ${\displaystyle y_{0}}$ 分別表示點 ${\displaystyle x}$ 和 ${\displaystyle y}$ 的時間坐標。

也可以寫成：

${\displaystyle {\mathcal {T}}\left[A(x)B(y)\right]:=\theta (x_{0}-y_{0})A(x)B(y)\pm \theta (y_{0}-x_{0})B(y)A(x),}$

這裏 ${\displaystyle \theta }$ 表示單位階躍函數，而 ${\displaystyle \pm }$ 取決於算符是玻色子體系的還是費米子體系的。對玻色子體系總是取正號。對於費米子體系取決於前述置換的奇偶性，對偶置換取正號，對奇置換取負號。

因為算符依賴於具體的時空點（不僅僅依賴於時間），因此僅當這些算符在任意兩個類空間隔的點上的取值對易時，最終的表達式才會與具體的時空點無關。一般來說，在時間排序中，自右往左，時間依次增大。