在幾何學 中，費馬點 是位於三角形 內的一個點。給定一個三角形△ABC P 頂點 A B C
P
A
+
P
B
+
P
C
{\displaystyle PA+PB+PC}
比從其它點算起的都要小。這個特殊點對於每個給定的三角形都只有一個。
費馬點問題最早是由法國 數學家 皮埃爾·德·費馬 在一封寫給意大利 數學家埃萬傑利斯塔·托里拆利 （氣壓計 的發明者）的信中提出的。[ 1] 斯坦納 重新發現了這個問題，並系統地進行了推廣，因此這個點也稱為托里拆利點 或斯坦納點 ，相關的問題也被稱作費馬-托里拆利-斯坦納問題 。
1638年，勒內·笛卡兒 邀請費馬 思考關於到四個頂點 距離為定值的函數的問題。這大概也是1643年，費馬寫信向埃萬傑利斯塔·托里拆利 詢問關於費馬點的問題的原因[ 1]
平面上有三個不在同一條直線上的點A, B, C P P PA + PB + PC P0 A, B, C P0 A + P0 B + P0 C PA + PB + PC 這個問題首先被托里拆利解決，但他生前並沒有發表。托里拆利的學生溫琴佐·維維亞尼 在1659年將他的遺作整理發表，其中包括了費馬點問題的證明[ 2] :124 。他的解法中用到了橢圓的焦點的性質。[ 3] [ 4]
托里拆利的解法中對這個點的描述是：對於每一個角都小於120°的三角形ABC 正三角形 ，然後作這三個正三角形的外接圓 。托里拆利指出這三個外接圓會有一個共同的交點，而這個交點就是所要求的點。這個點和當時已知的三角形特殊點都不一樣。這個點因此也叫做托里拆利點。
1647年，博納文圖拉·卡瓦列里 在他的著作《幾何學題集》（Exerciones Geometricae 頂點 連接，可以得出三條線段。這三條線段交於托里拆利點，而且托里拆利點對每條邊張的角都是120°。[ 5]
下面是三角形的費馬點的作法：
當有一個內角不小於120°時，費馬點為此角對應頂點 。
當三角形的內角都小於120°時
以三角形的每一邊為底邊，向外做三個正三角形 △ABC' △BCA' △CAB'
連接CC' BB' AA' [ 6]
三角形的內角都小於120°的情況：
首先證明CC' BB' AA' 設P CC' BB' C'AC BAB' 全等 的，三角形C'AC B'AB A
∠
C
′
P
B
{\displaystyle \angle \mathrm {C'PB} }
∠
C
′
A
B
{\displaystyle \angle \mathrm {C'AB} }
A B C' P 四點共圓 。同樣地，可以證明A B' C P
∠
A
P
B
=
∠
A
P
C
=
120
∘
{\displaystyle \angle \mathrm {APB} =\angle \mathrm {APC} =120^{\circ }}
從而
∠
C
P
B
=
120
∘
{\displaystyle \angle \mathrm {CPB} =120^{\circ }}
A' B C P
∠
A
′
P
B
=
∠
A
′
C
B
=
60
∘
{\displaystyle \angle \mathrm {A'PB} =\angle \mathrm {A'CB} =60^{\circ }}
∠
A
P
A
′
=
∠
A
P
B
+
∠
A
′
P
B
=
120
∘
+
60
∘
{\displaystyle \angle \mathrm {APA'} =\angle \mathrm {APB} +\angle \mathrm {A'PB} =120^{\circ }+60^{\circ }}
A A' P CC' BB' AA' [ 6] [ 7] :90
接下來證明交點P 頂點 距離之和最小的點。 在線段AA' Q QP PC
∠
Q
P
C
=
60
∘
{\displaystyle \angle \mathrm {QPC} =60^{\circ }}
PQC
∠
P
C
B
=
∠
Q
C
A
′
{\displaystyle \angle \mathrm {PCB} =\angle \mathrm {QCA'} }
QC PC BC A'C BPC A'QC QA' PB
PA + PB + PC AA' 對於平面上另外一個點P' P'C P'Q'C BP'C A'Q'C
P'A + P'B + P'C AP' + P'Q' + Q'A' 平面上兩點之間以直線長度最短。因此
P'A + P'B + P'C AP' + P'Q' + Q'A' ≥ AA' PA + PB + PC. 也就是說，點P A B C [ 6] [ 2] :124-125
最後證明唯一性。 如果有另外一點P' P'A + P'B + P'C PA + PB + PC
AA' AP' + P'Q' + Q'A' 因此點P' Q' AA' P' Q'
∠
A
P
′
B
=
∠
A
P
′
C
=
120
∘
{\displaystyle \angle \mathrm {AP'B} =\angle \mathrm {AP'C} =120^{\circ }}
因此P' CC' BB' AA' P' P P [ 7] :92
有一內角大於120°的情況。 如右圖，
∠
B
A
C
{\displaystyle \angle \mathrm {BAC} }
P BA BAF PA PAQ AQF APB FQ PB
PA + PB + PC FQ + QP + PC. 延長FA QC D
FQ + QP + PC > FQ + QC FQ + QD + DC > FD + DC FA + AD + DC > FA + AC AB + AC. 即PA + PB + PC > AB + AC. 所以A 頂點 的距離比三角形內任意一點到三頂點的距離都小，即A
費馬的問題也可以用物理的方法來解決。將平面上所給的三個給定點鑽出洞來，再設有三條繩子系在一起，每條繩子各穿過一個洞口，而繩子的末端都綁有一個固定重量m PA + PB + PC PA + PB + PC
在系統處於平衡態時，由力學原理可知繩子兩兩之間張成的角度
∠
A
P
B
{\displaystyle \angle \mathrm {APB} }
∠
B
P
C
{\displaystyle \angle \mathrm {BPC} }
∠
A
P
C
{\displaystyle \angle \mathrm {APC} }
sin
(
∠
A
P
B
)
m
g
=
sin
(
∠
B
P
C
)
m
g
=
sin
(
∠
A
P
C
)
m
g
{\displaystyle {\frac {\sin(\angle \mathrm {APB} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {BPC} )}{\mathbf {m} g}}={\frac {\sin(\angle \mathrm {APC} )}{\mathbf {m} g}}}
也就是說這三個角相等，即都是120°。[ 6] [ 8] :197-198
費馬點的定義可以推廣到更多點的情況。設平面上有m P 1 , P 2 , ... , P m λ1 , λ2 , ... , λm X m
λ
1
⋅
X
P
1
+
λ
2
⋅
X
P
2
+
⋯
+
λ
m
⋅
X
P
m
{\displaystyle \lambda _{1}\cdot XP_{1}+\lambda _{2}\cdot XP_{2}+\cdots +\lambda _{m}\cdot XP_{m}}
是最小的。
費馬點問題還可以推廣到高維空間中。比如說在n 維 實 向量空間
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
m p 1 , p 2 , ... , p m x m Dist(x )
Dist
(
x
)
=
∑
i
=
1
m
‖
x
−
p
i
‖
{\displaystyle \operatorname {Dist} (x)=\sum _{i=1}^{m}\|x-p_{i}\|}
則費馬點問題就變成尋找使得Dist(x ) p min ∈
R
n
{\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}
[ 9] :236-237 。與平面費馬點問題相似，高維情況下的費馬點問題也有由林德羅夫和斯圖姆證明的類似結論[ 9] :237 ：
使得Dist(x ) p min
如果從任何一點p i m-1 m-1 p min p 1 , p 2 , ... , p m 從p min p 1 , p 2 , ... , p m m
如果從某一點p i m-1 m-1 p min 對於加權的費馬點問題，也有類似的結論，只需將上述結論中的向量和替換為加權向量和，條件中的1也要替換為對應點的權重[ 9] :249-250 。
P. de Fermat, "Œvres" , I , H. Tannery (ed.), Paris (1891) (Supplement: Paris 1922)
O. Bottema. Selected Topics in Elementary Geometry ISBN 9780387781310 E. Torricelli, "Opere" , I/2 , Faënza (1919) pp. 90–97
E. Torricelli, "Opere" , III , Faënza (1919) pp. 426–431
Clark Kimberling. Shortest connectivity: an introduction with applications in phylogeny. Springer. 2004. ISBN 978-0387235387 Radmila Bulajich Manfrino, José Antonio Gómez Ortega, Rogelio Valdez Delgado. Inequalities: A Mathematical Olympiad Approach ISBN 9783034600491 Vladimir Boltyanski, Horst Martini, V. Soltan, V. Valerii Petrovich Soltan. Geometric Methods and Optimization Problems ISBN 9780792354543 
