調和平均數

調和平均數（英語：harmonic mean），是求一組數值的平均數的方法中的一種，一般是在計算平均速率時使用。

調和平均數是將所有數值取倒數並求其算術平均數後，再將此算術平均數取倒數而得，其結果等於數值的個數除以數值倒數的總和。一組正數${\displaystyle x_{1},x_{2},\cdots ,x_{n}}$的調和平均數${\displaystyle H}$其計算公式為：

${\displaystyle H={\cfrac {n}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+{\cfrac {1}{x_{2}}}+...+{\cfrac {1}{x_{n}}}}}.}$

或者

${\displaystyle H={\cfrac {n}{\sum _{i=1}^{n}{\cfrac {1}{x_{i}}}}}}$

二數的調和平均數

最常用的是二個正數值${\displaystyle x_{1}}$, ${\displaystyle x_{2}}$的調和平均數${\displaystyle H}$：

${\displaystyle H={\cfrac {2}{{\cfrac {1}{x_{1}}}+{\cfrac {1}{x_{2}}}}}={\cfrac {2x_{1}x_{2}}{x_{1}+x_{2}}}}$

這種情形下，調和平均數${\displaystyle H}$和兩數的算術平均數${\displaystyle A}$,

${\displaystyle A={\frac {{x_{1}}+{x_{2}}}{2}},}$

及幾何平均數${\displaystyle G}$,

${\displaystyle G={\sqrt {{x_{1}}\cdot {x_{2}}}},}$

有以下的關係。

${\displaystyle H={\frac {G^{2}}{A}}.}$

應用

1.調和平均數可以用在相同距離但速率不同時，平均速率的計算；如一段路程，前半段時速60公里，後半段時速30公里〔兩段距離相等〕，則其平均速率為兩者的調和平均數40公里。

2.阿特伍德機中的張力也恰為調和平均

${\displaystyle T={\frac {2m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}g}$

3.另外，兩個電阻${\displaystyle R_{1}}$, ${\displaystyle R_{2}}$並聯後的等效電阻${\displaystyle R_{eq}}$：

${\displaystyle R_{eq}={\frac {R_{1}R_{2}}{R_{1}+R_{2}}}}$

恰為兩電阻調和平均數的一半。

4.物理學中的減縮質量為調和平均數的一半

${\displaystyle \mu ={\frac {m_{1}m_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

參見

• 算術平均數
• 幾何平均數
• 平方平均數
• 算術-幾何平均數
• 幾何-調和平均數