西爾維斯特矩陣

西爾維斯特矩陣，是與兩個多項式相關的矩陣，從這個矩陣可以知道這兩個多項式的一些信息。

定義

設p和q為兩個多項式，次數分別為m和n。因此：

${\displaystyle p(z)=p_{0}+p_{1}z+p_{2}z^{2}+\cdots +p_{m}z^{m},\;q(z)=q_{0}+q_{1}z+q_{2}z^{2}+\cdots +q_{n}z^{n}.}$

於是，與p和q相關的西爾維斯特矩陣，就是通過以下方法得到的矩陣${\displaystyle (n+m)\times (n+m)}$：

• 第一行為：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}p_{m}&p_{m-1}&\cdots &p_{1}&p_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• 第二行是第一行往右移一列；第二行第一列的元素是零。
• 下面的(n-2)行也是用這種方法得出，每次都往右移一列。
• 第(n+1)行為：

${\displaystyle {\begin{pmatrix}q_{n}&q_{n-1}&\cdots &q_{1}&q_{0}&0&\cdots &0\end{pmatrix}}.}$

• 餘下的行仍然是每次都往右移一列。

因此，如果我們設m=4和n=3，則矩陣為：

${\displaystyle S_{p,q}={\begin{pmatrix}p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0&0\\0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}&0\\0&0&p_{4}&p_{3}&p_{2}&p_{1}&p_{0}\\q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0&0\\0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0&0\\0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}&0\\0&0&0&q_{3}&q_{2}&q_{1}&q_{0}\\\end{pmatrix}}.}$

應用

西爾維斯特矩陣用於交換代數中，例如測試兩個多項式是否有一個（非常數）公因式。確實，在這種情況下，相關的西爾維斯特矩陣的行列式（稱為兩個多項式的結式）等於零。反過來也成立。

以下線性方程組的解

${\displaystyle {S_{p,q}}^{\mathrm {T} }\cdot {\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0\\0\end{pmatrix}}}$

其中${\displaystyle x}$是大小為${\displaystyle n}$的向量，${\displaystyle y}$是大小為${\displaystyle m}$的向量，由滿足下式的多項式對${\displaystyle x,y}$（次數分別為${\displaystyle n-1}$和${\displaystyle m-1}$）的係數向量構成：

${\displaystyle x\cdot p+y\cdot q=1}$

這就是說，西爾維斯特矩陣的轉置的核給出了裴蜀方程的所有解，其中${\displaystyle \deg x<\deg q}$且${\displaystyle \deg y<\deg p}$。

這樣，西爾維斯特矩陣的秩決定了${\displaystyle p}$和${\displaystyle q}$的最大公因式的次數：

${\displaystyle \deg(\gcd(p,q))=m+n-\mathrm {rank} ~S_{p,q}}$

參考文獻

• 埃里克·韋斯坦因. Sylvester Matrix. MathWorld.