艾倫伯格-斯廷羅德公理

在數學的代數拓撲學中，艾倫伯格－斯廷羅德公理（英語：Eilenberg–Steenrod axioms）是拓撲空間的同調論的共有性質。符合這套公理的同調論的典型例子，是由塞繆爾·艾倫伯格和諾曼·斯廷羅德建立的奇異同調（英語：singular homology）。

同調論可以定義為符合艾倫伯格－斯廷羅德公理的函子列。這個公理化方法在1945年建立，可以用來證明只要符合公理的同調論都會有的共同結果，例如邁耶－菲托里斯序列（英語：Mayer–Vietoris sequence）。

如果省略了其中的維數公理，那麼其餘的公理所定義的是廣義同調論（英語：extraordinary homology theory）。最早出現的廣義同調論是K-理論和配邊理論（英語：cobordism theory）。

正式定義

艾倫伯格－斯廷羅德公理用於從拓撲空間偶(X, A)範疇到阿貝爾群範疇的函子列${\displaystyle H_{n}}$，連同稱為邊界映射的自然變換${\displaystyle \partial :H_{i}(X,A)\to H_{i-1}(A)}$。（在此H_i − 1(A)是H_i − 1(A,∅)的簡記。）這套公理是：

1. 恆同映射${\displaystyle \mathrm {id} :(X,A)\to (X,A)}$在同調群中誘導的同態${\displaystyle H_{n}(\mathrm {id} ):H_{n}(X,A)\to H_{n}(X,A)}$是恆同同態。
2. 設有空間偶的映射${\displaystyle f:(X,A)\rightarrow (Y,B)}$，${\displaystyle g:(Y,B)\rightarrow (Z,C)}$，那麼${\displaystyle H_{n}(g)\circ H_{n}(f)=H_{n}(g\circ f).}$
3. 設有空間偶的映射${\displaystyle f:(X,A)\rightarrow (Y,B)}$，那麼${\displaystyle \partial \circ H_{n}(f)=H_{n-1}(f|_{A})\circ \partial .}$
4. 同倫：同倫的映射在同調群中誘導相同的同態。換言之，如果${\displaystyle g:(X,A)\rightarrow (Y,B)}$同倫於${\displaystyle h:(X,A)\rightarrow (Y,B)}$，那麼其誘導同態相同：

   ${\displaystyle H_{n}(g)=H_{n}(h):H_{n}(X,A)\to H_{n}(Y,B)}$ 對所有n ≥ 0。

5. 切除：設(X, A)是空間偶，U是X的子集，使得U的閉包包含在A的內部之中。那麼包含映射${\displaystyle i:(X-U,A-U)\to (X,A)}$在同調群中誘導的是同構。
6. 維數：設P是單點空間，那麼${\displaystyle H_{n}(P)=0}$ 對所有n ≠ 0。
7. 正合：任何空間偶(X, A)經由包含映射${\displaystyle i:A\to X}$和${\displaystyle j:X\to (X,A)}$，都在同調群中誘導出長正合序列：

   ${\displaystyle \cdots \to H_{n}(A)\to ^{\!\!\!\!\!\!i_{*}}H_{n}(X)\to ^{\!\!\!\!\!\!j_{*}}H_{n}(X,A)\to ^{\!\!\!\!\!\!\partial _{*}}H_{n-1}(A)\to \cdots .}$

約翰·米爾諾增加了一條公理：

可加性：設${\displaystyle X=\coprod _{\alpha }{X_{\alpha }}}$是拓撲空間族${\displaystyle X_{\alpha }}$的不交併，那麼${\displaystyle H_{n}(X)\cong \bigoplus _{\alpha }H_{n}(X_{\alpha }).}$

設P是單點空間，那麼${\displaystyle H_{0}(P)}$稱為系數群。

結果

同調群的一些結果可以用公理推導出，例如同倫等價空間的同調群是同構的。

一些較為簡單的空間的同調群可以直接從公理算出，比如n-球面。因此可以推導出(n-1)-球面不是n-球的收縮。用這個結果可以給出布勞威爾不動點定理的一個證明。

維數公理

如果一個同調論符合差不多所有艾倫伯格－斯廷羅德公理，但維數公理除外，便稱為廣義同調論（英語：extraordinary homology theory）（對偶概念為廣義上同調論）。一些重要例子在1950年代發現，例如拓撲K-理論和配邊理論（英語：cobordism theory），都是廣義上同調論，並有與之對偶的同調論。

參看

• Zig-zag lemma（英語：Zig-zag lemma）

參考文獻

• Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Axiomatic approach to homology theory, Proc. Nat. Acad. Sci. U. S. A. 31, (1945). 117–120.
• Samuel Eilenberg, Norman E. Steenrod, Foundations of algebraic topology, Princeton University Press, Princeton, New Jersey, 1952. xv+328 pp.
• Glen Bredon（英語：Glen Bredon）: Topology and Geometry, 1993, ISBN 0-387-97926-3.
• James W. Vick. Homology Theory: An Introduction to Algebraic Topology 2nd edition. Springer-Verlag. 1994. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)