良擬序

數學分支序理論中，良擬序或良預序（英語：well-quasi-ordering，簡寫作wqo^[1]或WQO^[2]）是特殊的擬序^{[註 1]}，其元素的任意無窮序列${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }$中，必有先後兩項遞增，即存在${\displaystyle i<j}$使${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$。

「良預序」重新導向至此。關於等價類組成良序的序結構，請見「預良序（英語：prewellordering）」。

動機

良基歸納法可用於任何良基關係上，用以證明某集的全部元素皆具某性質。所以，或許會考慮某擬序是否良基^{[註 3]}。不過，良基擬序的類，對某些運算不封閉，即由某良基擬序出發，經若干運算，構造而成的新擬序，不一定良基。欲使新擬序仍為良基，原擬序需追加若干限制。

以冪集運算為例。給定集合${\displaystyle X}$上的擬序${\displaystyle \leq }$，可以定義冪集${\displaystyle {\mathcal {P}}(X)}$上的擬序${\displaystyle \leq ^{+}}$，使${\displaystyle A\leq ^{+}B}$當且僅當對${\displaystyle A}$的每個元素，皆可在${\displaystyle B}$中找到元素大於等於該元素。可以證明${\displaystyle \leq ^{+}}$不必良基，但若原擬序為良擬序，則冪集的擬序確實良基。^[3]:116

定義

集合${\displaystyle X}$上的良擬序（well-quasi-ordering）是一種預序關係（即滿足自反性${\displaystyle x\leq x}$、遞移性${\displaystyle x\leq y\wedge y\leq z\implies x\leq z}$的的二元關係${\displaystyle \leq }$），使得${\displaystyle X}$中任意無窮序列${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }$，皆有先後兩項${\displaystyle x_{i}\leq x_{j}}$（${\displaystyle i<j}$）遞增。若有此種良擬序，則${\displaystyle X}$本身稱為良擬序集（well-quasi-ordered set），簡寫為wqo。^{[1]:210–211}

良偏序（well-partial-ordering）既是良擬序又是偏序，即除前述條件外，尚具反對稱性${\displaystyle x\leq y\wedge y\leq x\implies x=y}$。

良擬序有其他等價定義，如將條件改為既不含無窮嚴格遞減序列${\displaystyle x_{0}>x_{1}>x_{2}>\cdots }$^{[註 2]}，又不含任意兩項不可比的無窮序列。換言之，擬序${\displaystyle (X,\leq )}$為良擬序當且僅當${\displaystyle (X,<)}$良基，且不含無窮反鏈。（與§ 無窮遞增子序列的拉姆齊論證相似。）^[1]:211

性質

• 給定擬序${\displaystyle (X,\leq )}$，在冪集上有另一擬序${\displaystyle ({\mathcal {P}}(X),\leq ^{+})}$，其中${\displaystyle A\leq ^{+}B\iff \forall a\in A,\exists b\in B,a\leq b}$。此關係為良基當且僅當${\displaystyle (X,\leq )}$本身是wqo。^[3]:116
• 給定良擬序${\displaystyle (X,\leq )}$，若有一列子集${\displaystyle S_{0}\subseteq S_{1}\subseteq \cdots \subseteq X}$，其中每個子集皆向上封閉^{[註 4]}，則該序列終必恆定，即自某個${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$起，以後各項${\displaystyle S_{n}=S_{n+1}=\cdots }$。假若不然，則對每個${\displaystyle i\in \mathbb {N} }$，存在${\displaystyle \exists j>i}$使${\displaystyle S_{j}\setminus S_{i}}$非空，從中選一個元素，如此可得某個無窮序列，其無遞增的兩項。
• 給定良擬序${\displaystyle (X,\leq )}$，${\displaystyle X}$的任何子集${\displaystyle S}$關於${\displaystyle \leq }$僅得有限多個極小元，否則該些極小元組成無窮反鏈。

無窮遞增子序列

若${\displaystyle (X,\leq )}$為wqo，則任意無窮序列${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2},\ldots }$，皆有無窮上升子序列${\displaystyle x_{n_{0}}\leq x_{n_{1}}\leq x_{n_{2}}\leq \cdots }$（各下標${\displaystyle n_{0}<n_{1}<n_{2}<\cdots }$）。此種子序列或稱為「完美」（perfect）。^[4]:245可用拉姆齊證法^{[註 5]}：給定序列${\displaystyle (x_{i})_{i}}$，考慮全部${\displaystyle i}$中，何者使${\displaystyle x_{i}}$右邊沒有任何${\displaystyle j>i}$滿足${\displaystyle x_{j}\geq x_{i}}$。記此種${\displaystyle i}$的集合為${\displaystyle I}$。若${\displaystyle I}$無窮，則以${\displaystyle I}$為下標集的子序列將不具遞增的兩項，與${\displaystyle X}$為wqo的假設抵觸。所以，${\displaystyle I}$為有限集。衹要${\displaystyle n}$大於${\displaystyle I}$中所有元素，則${\displaystyle n}$不屬${\displaystyle I}$，故有某個${\displaystyle m>n}$使${\displaystyle x_{m}\geq x_{n}}$，如此可逐項延伸，得到無窮遞增子序列。

「任意序列皆有無窮上升子列」與wqo的條件等價，亦可作為另一種定義。^[4]:245

例

圖一：整數的平常順序

圖二：自然數按整除序的哈斯圖

圖三：格網${\displaystyle \mathbb {N} ^{2}}$逐分量排序的哈斯圖

• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,\leq )}$，自然數集配備平常的大小序，是良偏序，乃至良序。不過，若允許負數，換成整數集的大小序${\displaystyle (\mathbb {Z} ,\leq )}$，則並非良擬序，因為此大小關係並非良基：負數組成無遞增兩項的序列。（圖一）
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ,|)}$，自然數集按整除序，不是良擬序：質數兩兩不可比較，組成無窮反鏈。（圖二）
• ${\displaystyle (\mathbb {N} ^{k},\leq )}$，自然數${\displaystyle k}$元組的集合逐分量排序（英語：product order）^{[註 6]}，是良偏序。此為迪克遜引理（英語：Dickson's lemma）^[5]（圖三）。更一般地，若${\displaystyle (X,\leq )}$為良擬序，則對任意正整數${\displaystyle k}$，積序（英語：product order）${\displaystyle (X^{k},\leq ^{k})}$亦是良擬序。
• 設${\displaystyle X}$為有限集，且至少有兩個元素。克萊尼星號${\displaystyle X^{*}}$是字母取自${\displaystyle X}$的全體有限字串之集。按字典序，${\displaystyle X^{*}}$不是良擬序，因為有無窮遞降序列${\displaystyle b,ab,aab,aaab,\ldots }$。同樣，${\displaystyle X^{*}}$關於前綴關係亦非良擬序，因為前述序列在該偏序下是無窮反鏈。然而，${\displaystyle X^{*}}$倘按子序列關係排序，則是良偏序。^[6]（在${\displaystyle X}$衹有一個元素的退化情況，此三種偏序完全一樣。）
• 推而廣之，以${\displaystyle (X,\leq )}$為字母集的有限串集${\displaystyle (X^{*},\leq )}$，按「嵌入」排序，如此組成良擬序當且僅當${\displaystyle (X,\leq )}$本身是良擬序，此結論稱為希格曼引理（英語：Higman's lemma）^[7]。其中所謂字串${\displaystyle u}$可以嵌入到${\displaystyle v}$，意思是${\displaystyle v}$中有與${\displaystyle u}$等長的子序列，逐項大於等於${\displaystyle u}$。若取子母集為無序集${\displaystyle (X,=)}$，則字串${\displaystyle u\leq v}$當且僅當${\displaystyle u}$是${\displaystyle v}$的子序列，退化成前款情況。
• 相反，良擬序${\displaystyle (X,\leq )}$上的無窮序列集，記為${\displaystyle (X^{\omega },\leq )}$，按嵌入序，一般不為良擬序。換言之，希格曼引理不適用於無窮序列。數學家引入優擬序（英語：Better-quasi-ordering），以期望值推廣希格曼引理。
• 以wqo ${\displaystyle (X,\leq )}$之元素標記頂點的有限樹全體，按嵌入排序，也是wqo，即克魯斯克爾樹定理（英語：Kruskal's tree theorem）^[1]。此處的樹有選定根節點，而嵌入的要求有三：某節點的子節點要映到該節點之像的後嗣；同節點的不同子節點，要映到該節點之像的不同子分支上；每個節點處的標記，小於等於其像的標記。
• 無窮樹之間的嵌入關係^{[註 7]}是wqo，由克里斯平·納許-威廉斯（英語：Crispin St. J. A. Nash-Williams）所證。^[8][9]
• 可數全序類之間的嵌入關係是良擬序，同樣散佈（英語：scattered order）^{[註 8]}全序類之間亦然。（萊弗定理（英語：Laver's theorem）^[10]）
• 可數布林代數的嵌入序是良擬序，由萊弗定理證得。^[11]:98
• 有限圖按圖子式序組成良擬序集。（羅伯遜-西摩定理（英語：Robertson–Seymour theorem））
• 對每個正整數${\displaystyle t}$，樹深（英語：tree-depth）至多為${\displaystyle t}$的圖，按導出子圖序，組成良擬序集。亦可同上考慮以良擬序${\displaystyle (X,\leq )}$標記其頂點，並要求該導出子圖的嵌入映射，使每個頂點的像的標記皆大於等於原標記，仍得良擬序。^[12]此外，補可約圖（英語：cograph）按導出子圖序，構成良擬序。^[13]

與良偏序的關聯

字面上，良擬序較良偏序廣義，但基於以下觀察，兩者實際分別不大：^[4]:250一方面，wpo必為wqo。另一方面，若有某wqo，則其各等價類^{[註 9]}組成wpo。舉例整數集${\displaystyle \mathbb {Z} }$的整除序是擬序${\displaystyle (\mathbb {Z} ,|)}$（但不是良擬序），其等價類形如${\displaystyle \{\pm m\}}$，所以等價類組成的偏序同構於${\displaystyle (\mathbb {N} ,|)}$。

據米爾納^[2]，「考慮擬序，並不比偏序更為概括……僅是因為較方便。」又例如，在全序類的嵌入擬序中，開區間${\displaystyle (0,1)}$與閉區間${\displaystyle [0,1]}$不同構，但可互相嵌入，所以在對應偏序中屬同一等價類，托馬斯·福斯特（英語：Thomas Forster (mathematician)）稱該等價類「似乎不是很有啓發性」，而且，全體偏序集按包含關係組成的偏序類，雖然鏈完備（英語：Chain complete），但並不完備（英語：Completeness (order theory)），若改為考慮全體擬序集則不會有此問題。^[3]:112

註

1. 擬序（quasi-ordering）為預序（preorder）的別名。
2. ${\displaystyle x<y}$謂${\displaystyle x\leq y}$且${\displaystyle y\nleq x}$。
3. 此處有濫用術語，稱擬序${\displaystyle (X,\leq )}$良基實際是說嚴格序${\displaystyle (X,<)}$^{[註 2]}為良基。
4. 子集${\displaystyle S\subseteq X}$向上封閉，意思是${\displaystyle \forall x,y\in X,x\leq y\wedge x\in S\Rightarrow y\in S}$。
5. 拉姆齊定理斷言，無窮個頂點的圖中，每邊染紅藍兩色之一，則必有同色無窮階完全圖。此處若${\displaystyle i<j}$且${\displaystyle x_{j}\geq x_{i}}$則邊${\displaystyle ij}$染紅，否則染藍。Wqo條件即無紅色無窮階完全圖，故必有藍色無窮階完全圖，即遞增子序列。
6. ${\displaystyle {\boldsymbol {x}}\leq {\boldsymbol {y}}}$是逐個分量有${\displaystyle x_{i}\leq y_{i}}$。
7. 即拓撲圖子式（英語：topological minor）關係。
8. 沒有多於一個元素的稠密子序。
9. 兩元素${\displaystyle x,y}$等價定義為${\displaystyle x\leq y\land y\leq x}$。

參考文獻

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