光線轉換矩陣分析

光線轉換矩陣分析(又稱ABCD矩陣分析)，是用於某些光學系統，特別是雷射領域的一種光線追蹤技術。它包含一個描述光學系統的光線轉化矩陣(ray transfer matrix)，這個矩陣與一代表光線的向量相乘之後，可以得到光線在該系統中的運行軌跡。這類的分析也被應用於加速器物理(accelerator physics)中，用以追蹤通過粒子加速器中磁鐵裝置的粒子，詳情請見電子光學。

以下介紹的技術使用了近軸逼近法，此逼近法意即假設所有光線相對於系統的光軸(optical axis)都處於小角度(θ為徑度)、短距離(x)。^[1]

定義

光線追蹤技術以兩個平面為參考面，分別為輸入平面與輸出平面，這兩個平面均垂直於系統的光軸。此外，為了理論的一般性，我們定義系統的光軸即直角坐標系的z軸。一光線與輸入面呈θ₁，從距離光軸 x₁ 的入射面進入系統，並在距光軸的x₂的輸出面呈θ₂射出，而n₁, n₂分別是在輸入面與輸出面中介質的折射率。

這些參數可表成下列關係式:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}$

當

${\displaystyle A={x_{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad B={x_{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}}$

且

${\displaystyle C={\theta _{2} \over x_{1}}{\bigg |}_{\theta _{1}=0}\qquad D={\theta _{2} \over \theta _{1}}{\bigg |}_{x_{1}=0}}$

這個關係式以光線轉化矩陣(RTM, M)將光線向量與輸入、輸出面互相連結，M代表的是在這兩個平面之間的光學系統。根據折射定律與幾何關係，可以證明RTM行列式值(determinant)即是兩個折射率的比值。

${\displaystyle \det(\mathbf {M} )=AD-BC={n_{1} \over n_{2}}}$

因此，若是輸入面與輸出面在同一個介質中，或是在具有同一個折射率的不同介質中，M等於1，相似的技術可以應用於電路學上，見二埠網絡。

範例

若兩個面中有空間存在，光線轉換矩陣可以表示成:

${\displaystyle \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$

其中d表示兩參考平面的距離(沿着光軸測量)，此矩陣有下列關係:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\mathbf {S} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}$

兩光線各別的參數可表示如下:

${\displaystyle {\begin{matrix}x_{2}&=&x_{1}+d\theta _{1}\\\theta _{2}&=&\theta _{1}\end{matrix}}}$

另一個範例為一薄透鏡，其光線轉畫矩陣為:

${\displaystyle \mathbf {L} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}$

其中f為透鏡的焦距。若遇表示依複合光學系統，光線轉化矩陣可以交互相乘，形成一總括光線轉化矩陣，以下範例唯為一長度為d的空間與薄透鏡的複合系統:

${\displaystyle \mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}}$

注意，矩陣的乘法並沒有交換率，因此下面的系統先為一薄透鏡，後為一空間。

${\displaystyle \mathbf {SL} ={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1-{\frac {d}{f}}&d\\{\frac {-1}{f}}&1\end{bmatrix}}}$

因此，矩陣必須照順序排好。不同的矩陣可以代表不同折射率的介質，或者是面鏡的反射等等。

光線轉化矩陣表格

簡易的光學元素

成分元素	矩陣	註解
傳輸在具有常數折射率的空間	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$	d為傳輸距離
折射在平坦的表面	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}}$	n1 為入射時的環境折射率 n2 為折射後的環境折射率
折射在曲面	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R\cdot n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}}$	R 為曲率半徑，當 R > 0 為凸面 n1 為入射時的環境折射率 n2 為折射後的環境折射率
從平坦面鏡反射	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\0&1\end{bmatrix}}}$
從曲面鏡反射	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {2}{R}}&1\end{bmatrix}}}$	R 為曲率半徑，當 R > 0 為凹面，可用於近軸近似法
薄透鏡	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\-{\frac {1}{f}}&1\end{bmatrix}}}$	f 為透鏡的焦距， 當 f > 0 為凸透鏡 唯有在焦距遠大於透鏡厚度時成立
厚透鏡	${\displaystyle {\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{2}-n_{1}}{R_{2}n_{1}}}&{\frac {n_{2}}{n_{1}}}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&t\\0&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}1&0\\{\frac {n_{1}-n_{2}}{R_{1}n_{2}}}&{\frac {n_{1}}{n_{2}}}\end{bmatrix}}}$	n1 為透鏡外的折射率 n2 為透鏡內的折射率 R1 為第一表面的曲率半徑 R2 為第二表面的曲率半徑 t 為透鏡的中心厚度
單直角稜鏡	${\displaystyle {\begin{bmatrix}k&{\frac {d}{nk}}\\0&{\frac {1}{k}}\end{bmatrix}}}$	k = (cos${\displaystyle \psi }$/cos${\displaystyle \phi }$) 是beam expansion的因素, 當${\displaystyle \phi }$ 為入射角, ${\displaystyle \psi }$ 為折射角, d 為稜鏡的路徑長, n 為稜鏡的折射率。 這個舉證應用在orthogonal beam exit。

共振穩定性

RTM在模擬光學共振系統的時候特別有用，像是雷射。在最簡單的情況下由兩個完全相同，具100%反射率、曲率半徑R相互距離為d的面鏡組成。為了達到光學追蹤的目的，上述的系統可以等同於由一系列焦距為R/2，彼此間的距離為d的薄透鏡所組成的系統，此結構又被稱為a lens equivalent duct或lens equivalent waveguide. 上述系統每一個波導下的RTM如下:

${\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {L} \mathbf {S} ={\begin{bmatrix}1&d\\{\frac {-1}{f}}&1-{\frac {d}{f}}\end{bmatrix}}}$

光學轉化矩陣分析此時就可以決定一個波導的穩定性(等同於共振器)，意即RTM可以找出光可以週期性地再聚焦，並待在波導內的狀況。我們可以找到系統中所有光的」eigenrays」，入射向量在每個mentioned sections的波導乘上一個實數或是複數的 λ 將會等於1。 使得：

${\displaystyle \mathbf {M} {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}x_{2}\\\theta _{2}\end{bmatrix}}=\lambda {\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}$

此為一本徵方程式：

${\displaystyle \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}=0}$

其中I為一2x2單位矩陣。 我們可以進一步計算此轉化矩陣的本徵值：

${\displaystyle \operatorname {det} \left[\mathbf {M} -\lambda \mathbf {I} \right]=0}$

可導出以下特徵方程式：

${\displaystyle \lambda ^{2}-\operatorname {tr} (\mathbf {M} )\lambda +\operatorname {det} (\mathbf {M} )=0}$

其中

${\displaystyle \operatorname {tr} (\mathbf {M} )=A+D=2-{d \over f}}$

是RTM的軌跡，且

${\displaystyle \operatorname {det} (\mathbf {M} )=AD-BC=1}$

是RTM行列式值的倒數，帶入消去後我們可以得到:

${\displaystyle \lambda ^{2}-2g\lambda +1=0}$

其中

${\displaystyle g\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\operatorname {tr} (\mathbf {M} ) \over 2}=1-{d \over 2f}}$

是穩定參數。本徵值是本徵方程式的解，由一元二次方程式可以解出:

${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm {\sqrt {g^{2}-1}}\,}$

現在，考慮一個光線通過系統N次:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}x_{N}\\\theta _{N}\end{bmatrix}}=\lambda ^{N}{\begin{bmatrix}x_{1}\\\theta _{1}\end{bmatrix}}}$

如果此波導是穩定的，所有的光都不會被隨意的引道到偏離主軸很遠的地方，意即λN必須是有限的。吾人假設g2>1，則兩本徵值均為實數，又因為λ*λ- = 1 ，因此其中一個的絕對值必須大於1，這也暗示了代表本徵向量的光線不會收斂。因此在依穩定的波導中，g2≤1，以及本徵值可以用複數形式表示:

${\displaystyle \lambda _{\pm }=g\pm i{\sqrt {1-g^{2}}}=\cos(\phi )\pm i\sin(\phi )=e^{\pm i\phi }}$

以g=cos(φ)表示。

假設 ${\displaystyle g^{2}<1}$ 且 ${\displaystyle r_{+}}$, ${\displaystyle r_{-}}$是${\displaystyle \lambda _{+}}$, ${\displaystyle \lambda _{-}}$的本徵向量，此兩向量橫跨所有向量空間，因為他們是正交 因此輸入的向量可以被表示成:

${\displaystyle c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-}}$,

${\displaystyle c_{+}}$ and ${\displaystyle c_{-}}$為某常數

再通過N個波導後，輸出則為:

${\displaystyle \mathbf {M} ^{N}(c_{+}r_{+}+c_{-}r_{-})=\lambda _{+}^{N}c_{+}r_{+}+\lambda _{-}^{N}c_{-}r_{-}=e^{iN\phi }c_{+}r_{+}+e^{-iN\phi }c_{-}r_{-}}$

這代表一個週期函數。

高斯光束的光線轉化矩陣

光線轉化矩陣的建立也可以用於描述高斯光束(Gaussian beams)，若有一高斯光束波長為λ0，曲率半徑為R，光點大小w，折射率n，我們可以定義出一複數光束參數(complex beam parameter) q:

${\displaystyle {\frac {1}{q}}={\frac {1}{R}}-{\frac {i\lambda _{0}}{\pi nw^{2}}}}$

此光束可以轉移至一具有下列光線轉化矩陣的光學系統:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}q_{2}\\1\end{bmatrix}}=k{\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}q_{1}\\1\end{bmatrix}}}$

其中k為標準化常數，此常數可以讓光束向量的第二個成分為1，利用矩陣乘法:

${\displaystyle q_{2}=k(Aq_{1}+B)\,}$

且

${\displaystyle 1=k(Cq_{1}+D)\ }$

由上式除以下式可得:

${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}}$

此方程式常以倒數形式表示:

${\displaystyle {1 \over q_{2}}={C+D/q_{1} \over A+B/q_{1}}}$

範例：Free space

假設一光束通過一距離為d的空間，光線轉化矩陣為: ${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&d\\0&1\end{bmatrix}}}$ 因此

${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}+d}{1}}=q_{1}+d}$

這表示，通過一空間會增加半徑d。

範例：薄透鏡

假設一光束通過一焦距為f的薄透鏡，光線轉化矩陣為:

${\displaystyle {\begin{bmatrix}A&B\\C&D\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}1&0\\-1/f&1\end{bmatrix}}}$

因此

${\displaystyle q_{2}={\frac {Aq_{1}+B}{Cq_{1}+D}}={\frac {q_{1}}{-{\frac {q_{1}}{f}}+1}}}$

${\displaystyle {\frac {1}{q_{2}}}={\frac {-{\frac {q_{1}}{f}}+1}{q_{1}}}={\frac {1}{q_{1}}}-{\frac {1}{f}}}$

再次強調，只有q的實部會被影響，曲率半徑會減少1/f。

另見

• 傳遞矩陣法
• 幾何光學

參考文獻

1. An exact method for tracing meridional rays is available here （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）.

• Bahaa E. A. Saleh and Malvin Carl Teich. Fundamentals of Photonics. New York: John Wiley & Sons. 1991. Section 1.4, pp. 26 – 36.

• Gerrard, Anthony; Burch, James M. Introduction to matrix methods in optics. Courier Dover. 1994 [2015-01-22]. ISBN 9780486680446. （原始內容存檔於2015-01-22）.

• F. J. Duarte. Tunable Laser Optics. New York: Elsevier-Academic. 2003. Chapter 6.

外部連結

• Thick lenses (Matrix methods)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• ABCD Matrices Tutorial（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） Provides an example for a system matrix of an entire system.
• ABCD Calculator（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） An interactive calculator to help solve ABCD matrices.
• Simple Optical Designer (Android App)（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） An application to explore optical systems using the ABCD matrix method.