米爾斯常數

米爾斯常數是使對於所有正整數n，二重指數函數

${\displaystyle A^{3^{n}}\;}$

的整數部分都是質數的最小正實數A。這個常數以W·H·米爾斯命名，他在1947年證明了這個常數的存在。

米爾斯常數的值是未知的，但如果黎曼猜想成立，它的值大約為：

${\displaystyle A\approx 1.30637788386308069046...}$（A051021 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館））。

米爾斯質數

由米爾斯常數所產生的質數稱為米爾斯質數；如果黎曼猜想成立，這個數列的最初幾項為：

2, 11, 1361, 2521008887…… （OEIS數列A051254）。

如果用a(i)來表示數列中的第i個質數，則a(i)可以計算為大於a(i −1)³的最小的質數。為了保證當n = 1，2，3，……時，A³ⁿ的整數部分是這個質數數列，必須有a(i) < (a(i −1) + 1)³。Hoheisel和Ingham的結果保證了在任何兩個足夠大的立方數之間一定有一個質數，這足以證明這個不等式，如果我們從一個足夠大的質數a(1)開始。從黎曼猜想，可以推出任何兩個連續的立方數之間一定有一個質數，這樣就可以去掉足夠大的條件，並允許米爾斯質數的數列從a(1) = 2開始。

目前已知最大的米爾斯質數（假設黎曼猜想成立）是：

${\displaystyle \displaystyle (((((((((2^{3}+3)^{3}+30)^{3}+6)^{3}+80)^{3}+12)^{3}+450)^{3}+894)^{3}+3636)^{3}+70756)^{3}+97220,}$

它有20,562位。

計算

通過計算米爾斯質數，我們可以近似計算米爾斯常數為：

${\displaystyle A\approx a(n)^{1/3^{n}}.}$

Caldwell & Cheng (2005)用這個方法計算出米爾斯常數的差不多七千位數。目前還沒有閉合公式可以計算米爾斯常數，甚至不知道它是不是有理數(Finch 2003)。

參見

• 質數公式

參考文獻

• Caldwell, Chris K.; Cheng, Yuanyou, Determining Mills' Constant and a Note on Honaker's Problem, Journal of Integer Sequences, 2005, 8 (05.4.1) [2008-11-05], （原始內容存檔於2011-06-05）.

• Finch, Steven R., Mills' Constant, Mathematical Constants, Cambridge University Press: 130–133, 2003, ISBN 0521818052.

• Mills, W. H., A prime-representing function, Bulletin of the American Mathematical Society, 1947, 53: 604, doi:10.1090/S0002-9904-1947-08849-2.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Mills' Constant. MathWorld.