算術幾何

在數學中，算術幾何（arithmetic geometry）大致是從代數幾何到數論問題的技術的應用^[1]。算術幾何圍繞着丟番圖幾何（英語：Diophantine geometry），這是代數簇有理點（英語：Rational point）的研究^[2][3]。

用更抽象的術語來說，算術幾何可以定義為對整數環的譜內的有限概形(scheme)方案的研究^[4]。

概述

算術幾何主要的研究對象是有理點：即多項式方程組在代數數域、有限域、P進數、或函數域上的解集。(研究對象是非代數閉域,所以不包括本來即為代數閉域的實數域。) 有理點的特徵可以用衡量其算術複雜性的高度函數(height function)來表示。^[5]

隨着代數幾何的現代抽象發展，當前的主要的研究方向是在非代數閉域上定義的代數簇的結構。在有限域上，平展上同調(Étale cohomology)提供了與代數簇相關的拓撲不變量^[6]。霍奇理論提供了工具來檢查複數上的上同調性質如何擴展到P進數上^[7]。

歷史

算術幾何原指從法爾廷斯（Faltings,G.）、奎倫（Quillen,D.G.）等的算術曲面上黎曼-羅赫定理開始的一系列研究工作，現在一般指所有以數論為背景或目的的代數幾何。在算術幾何中許多學科起着重要作用，並且相互交叉和滲透，包括數論、模形式、表示論、代數幾何、代數數論、李群、多複變函數論、黎曼面、K理論等，所以，它是典型的邊緣學科。丟番圖方程是算術幾何的一個重要課題，其中的問題可以自然地用幾何語言表達。在許多著名問題如莫德爾猜想、費馬大定理等的研究中，都表明幾何方法的必要性。這正是算術幾何的生命力所在。

根據莫德爾猜想(法爾廷斯定理)形如${\displaystyle y^{2}=x(x+1)(x-3)(x+2)(x-2)}$的超橢圓曲線的有理點解是有限的,${\displaystyle (-2.0),(-1,0)}$

參閱

• 貝赫和斯維訥通-戴爾猜想

參考資料

1. Sutherland, Andrew V. Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). September 5, 2013 [22 March 2019]. （原始內容存檔 (PDF)於2016-01-08）.
2. Klarreich, Erica. Peter Scholze and the Future of Arithmetic Geometry. June 28, 2016 [March 22, 2019]. （原始內容存檔於2021-01-25）.
3. Poonen, Bjorn. Introduction to Arithmetic Geometry (PDF). 2009 [March 22, 2019]. （原始內容存檔 (PDF)於2021-05-07）.
4. nLab的Arithmetic geometry條目
5. Lang, Serge. Survey of Diophantine Geometry. Springer-Verlag. 1997: 43–67. ISBN 3-540-61223-8. Zbl 0869.11051.
6. ^ 引用錯誤：沒有為名為grothendieck-cohomology的參考文獻提供內容
7. Serre, Jean-Pierre. Résumé des cours, 1965–66. Annuaire du Collège de France (Paris). 1967: 49–58.