等周定理

等周定理，又稱等周不等式（英語：isoperimetric inequality），是一個幾何中的不等式定理，說明了歐幾里得平面上的封閉圖形的周長以及其面積之間的關係。其中的「等周」指的是周界的長度相等。等周定理說明在周界長度相等的封閉幾何形狀之中，以圓形的面積最大；另一個說法是面積相等的幾何形狀之中，以圓形的周界長度最小。這兩種說法是等價的。它可以以不等式表達：若${\displaystyle P}$為封閉曲線的周界長，${\displaystyle A}$為曲線所包圍的區域面積，${\displaystyle 4\pi A\leq P^{2}}$。

雖然等周定理的結論早已為人所知，但要嚴格的證明這一點並不容易。首個嚴謹的數學證明直到19世紀才出現。之後，數學家們陸續給出了不同的證明，其中有不少是非常簡單的。等周問題有許多不同的推廣，例如在各種曲面而不是平面上的等周問題，以及在高維的空間中給定的「表面」或區域的最大「邊界長度」問題等。

在物理中，等周問題和跟所謂的最小作用量原理有關。一個直觀的表現就是水珠的形狀。在沒有外力的情況下（例如失重的太空艙里），水珠的形狀是完全對稱的球體。這是因為當水珠體積一定時，表面張力會迫使水珠的表面積達到最小值。根據等周定理，最小值是在水珠形狀為球狀時達到。

歷史

不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積，而周長不變

一個狹長的圖形可以通過「壓扁」來變得「更圓」，從而使得面積更大而周長不變。

平面上的等周問題是等周問題最經典的形式，它的出現可以追溯到很早以前。這個問題可以被表述為：在平面上所有周長一定的封閉曲線中，是否有一個圍成的面積最大？如果有的話，是什麼形狀？另一種等價的表述是：當平面上的封閉曲線圍成的面積一定時，怎樣的曲線周長最小？

雖然圓看似是問題的表面答案，但證明此事實其實不易。首個接近答案的步驟出現在1838年——雅各·史坦納（英語：Jakob Steiner）以幾何方法證明若答案存在，答案必然是圓形^[1]。不久之後他的證明被其他數學家完善。

其方法包括證明了不完全凸的封閉曲線的話，能以「翻折」凹的部分以成為凸的圖形，以增加面積；不完全對稱的封閉曲線能以傾斜來取得更多的面積。圓，是完全凸和對稱的形狀。可是這些並不足以作為等周定理的嚴格證明。

1901年，阿道夫·赫維茲憑傅里葉級數和格林定理給出一個純解析的證明。

證明

初等證明

以下給出一個較初等的證明^[2]，分5步。

設一條長度為P的封閉曲綫圍成的區域的最大面積為${\displaystyle A}$，亦以${\displaystyle A}$、${\displaystyle P}$來標記該區域及其邊界；那麼該圖形應當滿足如下性質：

1、${\displaystyle A}$是一個凸區域。

• 假使不然，${\displaystyle A}$是一個凹區域。那麼根據定義，可以在${\displaystyle P}$內找到兩個點${\displaystyle M}$和${\displaystyle N}$，使其連線${\displaystyle MN}$有一部份${\displaystyle M'N'}$不包含於${\displaystyle A}$的內部。然而如以${\displaystyle M'N'}$替換掉原來的那段弧，則周長將減少，面積將增加，從而將新圖形擴大若干倍後得到一個同樣周長，面積比${\displaystyle A}$大的區域。矛盾。

2、凡平分周長${\displaystyle P}$的弦必平分面積${\displaystyle A}$。

• 如果一弦${\displaystyle MN}$平分${\displaystyle P}$而將${\displaystyle A}$分為大小不同的兩部份${\displaystyle A_{1}>A_{2}}$，那麼去掉${\displaystyle A_{2}}$而將${\displaystyle A_{1}}$對${\displaystyle MN}$做對稱，則可得到一個周長仍然等於${\displaystyle P}$而面積等於${\displaystyle 2A_{1}>A_{1}+A_{2}=A}$的區域，矛盾。

3、凡平分${\displaystyle A}$的弦，無論方向，長度相等。

• 如果不然，不妨設兩弦${\displaystyle MN}$和${\displaystyle M'N'}$均平分面積${\displaystyle A}$而${\displaystyle MN>M'N'}$。那麼分別選取${\displaystyle MN}$及其任一側的曲綫（半個${\displaystyle P}$，不妨記為${\displaystyle P_{1}}$），以及${\displaystyle M'N'}$及其任一側的區域（另行劃分的半個${\displaystyle P}$，記為${\displaystyle P'_{1}}$），並粘合在一起使得${\displaystyle M'N'}$落在${\displaystyle MN}$上，${\displaystyle M}$與${\displaystyle M'}$重合。
  • 此時，新的圖形仍然滿足周長為${\displaystyle P}$，面積為${\displaystyle A}$的性質，且由於${\displaystyle MN>M'N'}$，N'應落於${\displaystyle MN}$之間。
• 以M為中心，分別對${\displaystyle P_{1}}$和${\displaystyle P'_{1}}$做${\displaystyle \lambda }$和${\displaystyle \mu }$倍的放縮，使兩曲綫的終端吻合（即N和N'經過變換之後重合，記為${\displaystyle N''}$），得到兩個分別與原區域相似的區域${\displaystyle Q_{1}}$和${\displaystyle Q'_{1}}$。適當調整${\displaystyle \lambda }$和${\displaystyle \mu }$的值，使曲綫${\displaystyle MQ_{1}N''Q'_{1}M}$的周長仍為P。
  • 此時${\displaystyle Q_{1}}$和${\displaystyle Q'_{1}}$的長度分別等於${\displaystyle {\frac {P\lambda }{2}}}$和${\displaystyle {\frac {P\mu }{2}}}$，所圍的面積分別等於${\displaystyle {\frac {A\lambda ^{2}}{2}}}$和${\displaystyle {\frac {A\mu ^{2}}{2}}}$；並且由於${\displaystyle MN}$和${\displaystyle MN'}$經過放縮後重合，有${\displaystyle \lambda MN=\mu MN'}$。
• 由於曲綫${\displaystyle MQ_{1}N''Q'_{1}M}$的周長仍為P，故${\displaystyle {\frac {P\lambda }{2}}+{\frac {P\mu }{2}}=P}$，從而${\displaystyle \lambda +\mu =2}$；而由${\displaystyle \lambda MN=\mu MN',MN>MN'}$知${\displaystyle 0<\lambda <1}$。
• 所以，${\displaystyle MQ_{1}N''Q'_{1}M}$的面積為${\displaystyle A{\frac {\lambda ^{2}+\mu ^{2}}{2}}=A{\frac {\lambda ^{2}+(2-\lambda )^{2}}{2}}=A(\lambda ^{2}-2\lambda +2)>A}$，與${\displaystyle A}$最大矛盾。

4、若${\displaystyle MN}$平分${\displaystyle A}$，${\displaystyle O}$為${\displaystyle MN}$中點，那麼對${\displaystyle P}$上任意一點${\displaystyle R}$，都有${\displaystyle OM=ON=OR}$。

• 以${\displaystyle O}$為中心，做${\displaystyle MRN}$的中心對稱圖形，${\displaystyle R}$對稱到${\displaystyle R'}$；那麼圖形${\displaystyle MR'NRM}$的周長為${\displaystyle P}$，面積為${\displaystyle A}$。由第3步知${\displaystyle MN}$和${\displaystyle RR'}$的長度應該相等，而${\displaystyle O}$也是${\displaystyle RR'}$的中點，故得結論。

5、由於${\displaystyle O}$到${\displaystyle P}$上任意一點的距離都相等，所以${\displaystyle P}$是圓。

傅里葉級數證明

不妨將封閉圖形周長定為${\displaystyle 2\pi }$，選取弧長參數${\displaystyle t}$其取值為從0到${\displaystyle 2\pi }$，有參數方程${\displaystyle (x,y)=[x(t),y(t)]}$，並且根據封閉圖形有${\displaystyle [x(0),y(0)]=[x(2\pi ),y(2\pi )]}$。現展開為傅里葉級數：

${\displaystyle {\begin{aligned}x(t)&={\frac {a_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[a_{k}\cos(kt)+b_{k}\sin(kt)]\\y(t)&={\frac {c_{0}}{2}}+\sum _{k=1}^{\infty }[c_{k}\cos(kt)+d_{k}\sin(kt)]\end{aligned}}}$

以及相應導數：

${\displaystyle {\begin{aligned}x'(t)&=\sum _{k=1}^{\infty }[-ka_{k}\sin(kt)+kb_{k}\cos(kt)]\\y'(t)&=\sum _{k=1}^{\infty }[-kc_{k}\sin(kt)+kd_{k}\cos(kt)]\end{aligned}}}$

考慮帕塞瓦爾恆等式（注意這裏是實數情形），可以得到：

${\displaystyle \sum _{k=1}^{\infty }k^{2}(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}+c_{k}^{2}+d_{k}^{2})=\int _{0}^{2\pi }{\frac {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}{\pi }}\mathrm {d} t=2\qquad (1)}$

其中第二個等號是因為弧長參數表示的微分滿足${\displaystyle [x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}=1}$的關係。

根據格林公式，得到封閉圖形面積為${\displaystyle S=\int _{0}^{2\pi }x(t)y'(t)\mathrm {d} t}$，因此：

${\displaystyle {\frac {S}{\pi }}=\int _{0}^{2\pi }{\frac {x(t)y'(t)}{\pi }}\mathrm {d} t=\sum _{k=1}^{\infty }k(a_{k}d_{k}-b_{k}c_{k})\qquad (2)}$

整理與聯繫上述等式(1)與(2)，得：

${\displaystyle {\begin{aligned}4\pi ^{2}-4\pi S&=2\pi ^{2}\sum _{k=1}^{\infty }[k^{2}(a_{k}^{2}+b_{k}^{2}+c_{k}^{2}+d_{k}^{2})-2k(a_{k}d_{k}-b_{k}c_{k})]\\&=2\pi ^{2}\sum _{k=1}^{\infty }[(ka_{k}-d_{k})^{2}+(kb_{k}+c_{k})^{2}+(k^{2}-1)(c_{k}^{2}+d_{k}^{2})]\\&\geqslant 0\end{aligned}}}$

此時可以證明${\displaystyle S}$存在最大值（初等證明里沒有證明解的存在性），即該不等式取等號時的情況，若且唯若滿足以下條件：

${\displaystyle {\begin{cases}a_{1}-d_{1}=0\\b_{1}+c_{1}=0\\a_{k}=b_{k}=c_{k}=d_{k}=0&k\geqslant 2\end{cases}}}$

最終可以得到參數方程即為圓：

${\displaystyle {\begin{cases}x={\dfrac {a_{0}}{2}}+a_{1}\cos t+b_{1}\sin t\\y={\dfrac {c_{0}}{2}}-b_{1}\cos t+a_{1}\sin t\end{cases}}}$

證畢。

參見

• 變分法
• 普拉托問題
• 掛谷集合
• 移動沙發問題

參考來源

1. J. Steiner, Einfacher Beweis der isoperimetrischen Hauptsätze, J. reine angew Math. 18, (1838), pp. 281–296; and Gesammelte Werke Vol. 2, pp. 77–91, Reimer, Berlin, (1882).
2. 福原満洲雄、山中健，変分學入門，朝倉書店，1978.3.