立方質數

立方質數是由特殊的方程生成的質數。這種方程共有兩組，都包含有變量x和y的立方項。A.J.C.坎寧安（A. J. C. Cunningham）首先研究了這種方程。

第一種生成立方質數的方程：${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+1,y=1,2,\cdots }$

由上式產生的首幾個質數是：7, 19, 37, 61, 127…（ A002407）

上式可以重寫成${\displaystyle {\frac {(y+1)^{3}-y^{3}}{y+1-y}}}$，再簡化成${\displaystyle 3y^{2}+3y+1}$，這正和中心六邊形數的一般形式一模一樣。即是說這類立方質數都是中心六邊形數。截至2024年6月，最大的立方質數有3153105個數位，用上述方程描述的話就是${\displaystyle y=3^{3304301}-1}$，由Ryan Propper與Serge Batalov發現。^[1]

坎寧安的《對準梅森數的研究》（On quasi-Mersennian numbers''）曾對它們做過研究。

第二種生成立方質數的方程：${\displaystyle p={\frac {x^{3}-y^{3}}{x-y}},x=y+2,y=1,2,\cdots }$

13, 109, 193, 433, 769, 1201, 1453, 2029, 3469, 3889, 4801…（ A002648）

坎寧安的書《二元因數分解》（Binomial Factorisation）曾對它們進行研究。

參考資料

1. 3^6608603 - 3^3304302 + 1. PrimePages. [2024-07-17]. （原始內容存檔於2024-04-09）.