微分中值定理分為羅爾中值定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,內容粗略的說是指平面上一段固定端點的可微曲線,兩端點之中必然有一點,它的斜率與連接兩端點的直線斜率相同(嚴格的數學表達參見下文)。
當提到中值定理時在沒有特別說明下一般指拉格朗日中值定理。
令為閉區間上的一個連續函數,且在開區間內可導,其中。那麼在上存在某個使得
此定理稱為拉格朗日中值定理,也簡稱中值定理,是羅爾中值定理的更一般的形式,同時也是柯西中值定理的特殊情形。
這個定理在可以稍微推廣一點。只需假設 在 連續,且在開區間 內對任意一點 ,極限
存在,為一個有限數字或者等於+∞或−∞.如果有限,則極限等於。這版本定理應用的一個例子是函數 ,實值三次方根函數,其導數在原點趨於無窮。
注意若一個可微函數的值域是複數而不是實數,則上面這定理就未必正確。例如,對實數 定義。那麼
因 時, 為開區間 中任意一點。
柯西中值定理,也叫拓展中值定理,是中值定理的一般形式。它敘述為:如果函數 f 和 g 都在閉區間[a,b] 上連續,且在開區間 (a,b) 上可微,那麼存在某個 c ∈ (a,b),使得
當然,如果g(a) ≠ g(b) 且 g′(c) ≠ 0,則可表示成:
在幾何上,這表示曲線
上存在一點其切線平行於由兩點 (f(a),g(a)) 和 (f(b),g(b)) 所連接的直線。但柯西定理不能表明在任何情況下這種切線都存在,因為可能存在一些c值使 f′(c) = g′(c) = 0,所以在這些點曲線根本沒有切線。下面是這種情形的一個例子
在區間[−1,1]上,曲線由(−1,0)到(1,0),卻並無一個水平切線,然而它在 t = 0處有一個駐點(實際上是一個尖點)。
柯西中值定理可以用來證明洛必達法則。(拉格朗日)中值定理是柯西中值定理當g(t) = t時的特殊情況。
積分中值定理分為積分第一中值定理和積分第二中值定理,它們各包含兩個公式。其退化狀態均指在ξ的變化過程中存在一個時刻使兩個圖形的面積相等(嚴格表述在下面)。
在不失去一般性的條件下,設對所有,有;
因為是閉區間上的連續函數,取得最大值和最小值。於是
- 。
對不等式求積分,我們有
- 。
若,則。可取上任一點。
若不等於零那麼,
- 。
因為是連續函數,根據中間值定理,則必存在一點,使得
- 。
的情況按同樣方法證明。
在上式中令,則可得出:
設為一連續函數,則∃,使
它也可以由拉格朗日中值定理推出:
設在上可導,,則∃,使
積分第二中值定理與積分第一中值定理相互獨立,卻又是更精細的積分中值定理。它可以用來證明Dirichlet-Abel反常Riemann積分判別法。
若f,g在[a,b]上黎曼可積且f(x)在[a,b]上單調,則存在[a,b]上的點ξ使
- ;
令g(x)=1,則原公式可化為:
- ;
進而導出:
- ;
此時易得其幾何意義為:
能找到ξ∈[a,b],使得S[紅]+S[藍]=S[陰影],即S[I]=S[II]
關於積分中值定理的一個重要應用是可以去除掉積分號,或者使複雜的被積函數化為相對簡單的被積函數,從而使問題簡化。