矩陣差分方程

矩陣差分方程是一種差分方程，其中某時刻的變量向量（或矩陣）與之前時刻的值通過矩陣相關。^[1][2]方程的階是變量向量任意兩個指示值之間的最大時差。例如

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}}$

是二階矩陣差分方程，其中x是n × 1變量向量，A、B是n × n矩陣。該方程齊次，因為方程末尾沒有常數項向量。同一個方程也可寫成

${\displaystyle \mathbf {x} _{t+2}=\mathbf {Ax} _{t+1}+\mathbf {Bx} _{t}}$

或

${\displaystyle \mathbf {x} _{n}=\mathbf {Ax} _{n-1}+\mathbf {Bx} _{n-2}}$

最常見的矩陣差分方程都是一階的。

非齊次一階情形及穩態

非齊次一階矩陣差分方程如：

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {b} }$

與一個加性常向量 b。該系統的穩態是x向量的值x*，一旦達到就不會偏離。x*可通過置x_t = x_t−1 = x*、解x*以得

${\displaystyle \mathbf {x} ^{*}=[\mathbf {I} -\mathbf {A} ]^{-1}\mathbf {b} }$

其中I是n × n單位矩陣，假定[I − A]可逆。非齊次方程可用偏離穩態的齊次方程重寫：

${\displaystyle \left[\mathbf {x} _{t}-\mathbf {x} ^{*}\right]=\mathbf {A} \left[\mathbf {x} _{t-1}-\mathbf {x} ^{*}\right]}$

一階情形的穩定性

一階矩陣差分方程[x_t − x*] = A[x_t−1 − x*]是穩定的，即若且唯若轉移矩陣A的所有特徵值（無論實復）絕對值都小於1時，x_t才逐漸收斂到穩態x*。

解一階情形

假定方程齊次形式為y_t = Ay_t−1，然後可從初始條件y₀開始迭代。y₀是y的初值，必須得知才能求解：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {y} _{1}&=\mathbf {Ay} _{0}\\\mathbf {y} _{2}&=\mathbf {Ay} _{1}=\mathbf {A} ^{2}\mathbf {y} _{0}\\\mathbf {y} _{3}&=\mathbf {Ay} _{2}=\mathbf {A} ^{3}\mathbf {y} _{0}\end{aligned}}}$

以此類推，由數學歸納法，用t表示的解為

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {A} ^{t}\mathbf {y} _{0}}$

此外，若A可對角化，就可用它的特徵值和特徵向量重寫A，得到解

${\displaystyle \mathbf {y} _{t}=\mathbf {PD} ^{t}\mathbf {P} ^{-1}\mathbf {y} _{0},}$

其中P是n × n矩陣，列是A的特徵向量（假設特徵值互異）；D是n × n對角矩陣，對角元是A的特徵值。這個解就是上述穩定性結果的依據：若且唯若A的特徵值絕對值都小於1，A^t才會隨時間收縮到零矩陣。

從一階矩陣系統中提取單一純量變量的動力特性

從n維系統y_t = Ay_t−1開始，可以提取其中一個狀態變量（如y₁）的動態變化。上述y_t的求解方程表明，y_1,t的解是根據A的n個特徵值求得的。因此，描述y₁變化的方程本身必須有涉及特徵值的解。這種描述直觀地產生了y₁的演化方程，即

${\displaystyle y_{1,t}=a_{1}y_{1,t-1}+a_{2}y_{1,t-2}+\dots +a_{n}y_{1,t-n}}$

其中參數a_i來自A的特徵方程式：

${\displaystyle \lambda ^{n}-a_{1}\lambda ^{n-1}-a_{2}\lambda ^{n-2}-\dots -a_{n}\lambda ^{0}=0.}$

因此，n維一階線性系統中的每個純量變量都根據一元n階差分方程演化，與矩陣差分防塵具有相同的穩定性。

高階情形的解與穩定性

可用分塊矩陣將高階矩陣差分方程轉換到一階，可以求解時滯超過一個周期的高階方程，並分析其穩定性。例如，假設有二階方程

${\displaystyle \mathbf {x} _{t}=\mathbf {Ax} _{t-1}+\mathbf {Bx} _{t-2}}$

變量向量x尺寸為n × 1，A、B尺寸為n × n。則可以疊加為下列形式

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t}\\\mathbf {x} _{t-1}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {A} &\mathbf {B} \\\mathbf {I} &\mathbf {0} \\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {x} _{t-1}\\\mathbf {x} _{t-2}\end{bmatrix}}}$

其中I是n × n單位矩陣，0是n × n零矩陣。然後將當前變量和一度滯後變量的2n × 1疊加向量表示為z_t，將2n × 2n分塊矩陣表示為L，就得到了之前的解

${\displaystyle \mathbf {z} _{t}=\mathbf {L} ^{t}\mathbf {z} _{0}}$

與之前一樣，若且唯若矩陣L 的所有特徵值的絕對值都小於1時，疊加方程與原二階方程才穩定。

非線性矩陣差分方程：黎卡提方程

在LQG控制中，會出現一個當前和未來成本矩陣反向演化的非線性矩陣方程，下面用H表示。這個方程也被稱為離散動力黎卡提方程，當據線性矩陣差分方程演化的變量向量受外源向量的控制，以優化二次損失函數時，就會產生這個方程。黎卡提方程形式如下：

${\displaystyle \mathbf {H} _{t-1}=\mathbf {K} +\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} -\mathbf {A} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} \left[\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {C} +\mathbf {R} \right]^{-1}\mathbf {C} '\mathbf {H} _{t}\mathbf {A} }$

其中H、K、A尺寸為n × n；C尺寸為n × k；R尺寸為k × k，n是受控向量元素數，k是控制向量元素數。參數矩陣A、C來自線性方程，參數矩陣K、R來自二次損失函數。詳見此處。

一般來說，該方程無法根據t分析求解H_t，而是通過迭代黎卡提方程，求出H_t的值序列。不過，已經證明^[3]，若R = 0、n = k + 1，則可將黎卡提方程簡化為純量有理差分方程分析求解；對任意k、n，若轉移矩陣A可逆，則黎卡提方程就可根據矩陣特徵值進行分析求解，儘管特徵值可能要用數值計算才能找到。^[4]

在大多數情況下，H隨時間的演化是穩定的，也就是說H會收斂到特定的常矩陣H*，其他矩陣都有理時也可能是無理的。參見隨機控制#離散時間系統。

相關的黎卡提方程^[5]是

${\displaystyle \mathbf {X} _{t+1}=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {B} \mathbf {X} _{t}\right]\left[\mathbf {C} +\mathbf {A} \mathbf {X} _{t}\right]^{-1}}$

其中X, A, B, C, E全都是n × n方陣。這個方程可以顯式求解。假設${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}}$，在t = 0時N₀ = X₀、D₀ = I顯然成立。然後將其用於差分方程，得出

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {X} _{t+1}&=-\left[\mathbf {E} +\mathbf {BN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\left[\mathbf {C} +\mathbf {AN} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}\right]\mathbf {D} _{t}\right]^{-1}\\&=-\left[\mathbf {ED} _{t}+\mathbf {BN} _{t}\right]\left[\mathbf {CD} _{t}+\mathbf {AN} _{t}\right]^{-1}\\&=\mathbf {N} _{t+1}\mathbf {D} _{t+1}^{-1}\end{aligned}}}$

因此通過歸納法，形式${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=\mathbf {N} _{t}\mathbf {D} _{t}^{-1}}$對所有t都成立。那麼N、D的演化可寫為

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t+1}\\\mathbf {D} _{t+1}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}-\mathbf {B} &-\mathbf {E} \\\mathbf {A} &\mathbf {C} \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}\equiv \mathbf {J} {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}}$

因此可歸納

${\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{t}\\\mathbf {D} _{t}\end{bmatrix}}=\mathbf {J} ^{t}{\begin{bmatrix}\mathbf {N} _{0}\\\mathbf {D} _{0}\end{bmatrix}}}$

另見

• 矩陣微分方程
• 差分方程
• 線性差分方程
• 動力系統
• 代數Riccati方程

參考文獻

1. Cull, Paul; Flahive, Mary; Robson, Robbie. Difference Equations: From Rabbits to Chaos. Springer. 2005. ch. 7. ISBN 0-387-23234-6.
2. Chiang, Alpha C. Fundamental Methods of Mathematical Economics 3rd. McGraw-Hill. 1984: 608–612. ISBN 9780070107809. 含有內容需登入查看的頁面 (link)
3. Balvers, Ronald J.; Mitchell, Douglas W. Reducing the dimensionality of linear quadratic control problems (PDF). Journal of Economic Dynamics and Control. 2007, 31 (1): 141–159 [2023-10-15]. doi:10.1016/j.jedc.2005.09.013. （原始內容存檔 (PDF)於2022-01-18）.
4. Vaughan, D. R. A nonrecursive algebraic solution for the discrete Riccati equation. IEEE Transactions on Automatic Control. 1970, 15 (5): 597–599. doi:10.1109/TAC.1970.1099549.
5. Martin, C. F.; Ammar, G. The geometry of the matrix Riccati equation and associated eigenvalue method. Bittani; Laub; Willems (編). The Riccati Equation. Springer-Verlag. 1991. ISBN 978-3-642-63508-3. doi:10.1007/978-3-642-58223-3_5.