真值函數

在邏輯中，真值函數是從語言的句子生成的函數。它採用來自 {T,F} (就是真實和虛假)的真值。例如句子 A → B 生成真值函數 h(A,B)，它的真值是 F，若且唯若 A 的值是 T 而 B 的值是 F。n 個變量的命題句子生成 2^{2^n} 個真值函數。比如，如果有像 A → (B → A) 這樣的 2 個變量的命題則有 16 個生成的真值函數。

陳述或命題被稱為是真值泛函的，如果它的真值由它的部件的真值來決定。

比如，「在2004年4月20日保羅·馬丁是加拿大首相」是真的，「在2004年4月20日喬治·獲加·布殊是美國總統」也是真的，所以合取：

• 「在2004年4月20日保羅·馬丁是加拿大首相 與 喬治·獲加·布殊是美國總統」

是真的。在這個句子中，「與」充當真值函數。

相反的，在「在2004年4月20日阿爾·戈爾是美國總統」和「布蘭妮·斯皮爾斯相信在2004年4月20日阿爾·戈爾是美國總統」。知道前者不是真的和後者的真值之間沒有關係：布蘭妮·斯皮爾斯相信阿爾·戈爾是總統這個命題的真值，不是由阿爾·戈爾在那天不是總統的事實來決定的。 所以，詞語「相信」不是真值函數。

用更加數學化的術語，真值函數是一種布爾函數，並使用布爾變量來持有真值函數的結果是計算機科學的普遍實踐。確定句子的真值是邏輯和數學二者的基本活動；作為結果，真值函數在與邏輯和數學基礎有關的著作中經常討論。

簡單真值函數如 AND、NOT 等可以用真值表確定。更複雜的真值函數可能需要重要的計算。

歷史

Alonzo Church 1944年. Introduction to Mathematical Logic. ISBN 0-691-02906-7 The history of the usage of truth function is covered, among other terms, in the Introduction chapter.

參見

• 《邏輯哲學論》, 命題(5.101)。
• 羅素和懷特海的《數學原理》(第二版)。
• 邱奇,《數理邏輯介紹》1944年。
• 真值
• 真值表
• 布爾函數
• 布爾值函數

參考資料

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