瑞利衰落頻道

瑞利衰落頻道（英語：Rayleigh fading channel）是一種無線電訊號傳播環境的「統計模型（statistical model）」。這種模型假設訊號通過無線頻道之後，其訊號振幅（amplitude）是隨機的，即「衰落(fading)」，並且其包絡（envelope）服從瑞利分佈（Rayleigh distribution）。

這一頻道模型能夠描述由電離層和對流層反射的短波頻道，以及建築物密集的城市環境。^[1][2]瑞利衰落只適用於從發射機到接收機不存在直射訊號（LoS，Line of Sight）的情況，否則應使用萊斯衰落頻道（Rician fading channel）作為頻道模型。

模型

瑞利衰落能有效描述存在能夠大量散射無線電訊號的障礙物的無線傳播環境。若傳播環境中存在足夠多的散射，則衝激訊號到達接收機後表現為大量統計獨立的隨機變量的疊加，根據中心極限定理，則這一無線頻道的衝激響應將是一個高斯過程。如果這一散射頻道中不存在主要的訊號分量，通常這一條件是指不存在直射訊號（LoS），則這一過程的均值為0，且相位服從0 到2π 的均勻分佈。即，頻道響應的包絡服從瑞利分佈。設隨機變量R，於是其概率密度函數為：

${\displaystyle p_{R}(r)={\frac {2r}{\sigma }}e^{-r^{2}/\sigma },\ r\geq {}0}$

其中${\displaystyle \sigma =E(R^{2})}$。

若頻道中存在一主要分量，例如直射訊號（LoS），則頻道響應的包絡服從萊斯分佈，對應的頻道模型為萊斯衰落頻道。

通常將頻道增益以等效基帶訊號表示，即用一複數表示頻道的振幅和相位特性。由此瑞利衰落即可由這一複數表示，它的實部和虛部服從於零均值的獨立同分佈高斯過程。

模型的適用

最大多普勒頻移為10Hz的瑞利衰落頻道。

最大多普勒頻移為100Hz的瑞利衰落頻道。

瑞利衰落模型適用於描述建築物密集的城鎮中心地帶的無線頻道。密集的建築和其他物體使得無線設備的發射機和接收機之間沒有直射路徑，而且使得無線訊號被衰減、反射、折射、繞射。在曼哈頓的實驗證明，當地的無線頻道環境確實接近於瑞利衰落。^[3] 通過電離層和對流層反射的無線電頻道也可以用瑞利衰落來描述，因為大氣中存在的各種粒子能夠將無線訊號大量散射。

瑞利衰落屬於小尺度的衰落效應，它總是疊加於如陰影、衰減等大尺度衰落效應上。

頻道衰落的快慢與發射端和接收端的相對運動速度的大小有關。相對運動導致接收訊號的多普勒頻移。圖中所示即為一固定訊號通過單徑的瑞利衰落頻道後，在1秒內的能量波動，這一瑞利衰落頻道的多普勒頻移最大分別為10Hz和100Hz，在GSM1800MHz的載波頻率上，其相應的移動速度分別為約6千米每小時和60千米每小時。特別需要注意的是訊號的「深衰落」現象，此時訊號能量的衰減達到數千倍，即30～40分貝。

相關性

瑞利衰落頻道的自相關函數，其多普勒頻移為10Hz。

無線終端的發射端和接收端之間若以恆定的相對速度移動，則這一瑞利衰落頻道的歸一化自相關函數為零階貝索函數：^[4]

${\displaystyle \,\!R(\tau )=J_{0}(2\pi f_{d}\tau )}$

其中延時為${\displaystyle \,\!\tau }$，最大多普勒頻偏為${\displaystyle f_{d}}$。如圖所示，為最大多普勒頻移為10Hz的瑞利衰落頻道的自相關函數，它關於延時是周期的，而且其包絡在第一個零點之後緩慢衰減。

振幅穿越率

振幅穿越率（LCR，level crossing rate）是對衰落快慢的一種度量。LCR 給出衰落訊號的振幅以怎樣的頻率穿越某一門限，通常按照正向穿越方向進行計算。瑞利衰落的LCR為：^[5]

${\displaystyle LCR={\sqrt {2\pi }}f_{d}\rho e^{-\rho ^{2}}}$

其中${\displaystyle f_{d}}$是最大多普勒頻偏，${\displaystyle \,\!\rho }$為對訊號的均方根進行歸一化的訊號門限值：

${\displaystyle \rho ={\frac {R_{thresh}}{R_{rms}}}}$.

平均衰落時間

平均衰落時間（AFD，average fade duration）這一參數是指訊號在門限${\displaystyle \,\!\rho }$以下持續的時間。瑞利衰落的平均衰落時間為：^[5]

${\displaystyle AFD={\frac {e^{\rho ^{2}}-1}{\rho f_{d}{\sqrt {2\pi }}}}}$.

振幅穿越速率和平均衰落時間這兩個參數給出了衰落在時間上嚴重程度的描述。對於一定的門限值${\displaystyle \rho }$，平均衰落時間和振幅穿越速率的積為常數，並且可以表示為：

${\displaystyle AFD\times LCR=1-e^{-\rho ^{2}}}$.

瑞利衰落頻道的仿真

根據上文所述，瑞利衰落頻道可以通過發生實部和虛部都服從獨立的高斯分佈變量來仿真生成。不過，在有些情況下，研究者只對振幅的波動感興趣。針對這種情況，有兩種方法可以仿真產生瑞利衰落頻道。這兩種方法的目的是產生一個訊號，有着上文所示的多普勒功率譜或者等效的自相關函數。這個訊號就是瑞利衰落頻道的衝激響應。

參考文獻

1. John G. Proakis. Digital Communications 3rd edition. Singapore: McGraw-Hill Book Co. 1995: 767–768. ISBN 978-0-07-113814-7. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
2. Bernard Sklar. Rayleigh Fading Channels in Mobile Digital Communication Systems Part I: Characterization. IEEE Communications Magazine. July 1997, 35 (7): 90–100. doi:10.1109/35.601747 ISSN 0163-6804.
3. Dmitry Chizhik, Jonathan Ling, Peter W. Wolniansky, Reinaldo A. Valenzuela, Nelson Costa, and Kris Huber. Multiple-Input–Multiple-Output Measurements and Modeling in Manhattan. IEEE Journal on Selected Areas in Communications. April 2003, 21 (3): 321–331. doi:10.1109/JSAC.2003.809457.
4. R. H. Clarke. A Statistical Theory of Mobile Radio Reception. Bell Systems Technical Journal. July–August 1968, 47 (6): 957–1000.
5. T. S. Rappaport. Wireless Communications: Principles and Practice 2nd edition. Prentice Hall PTR. 2001-12-31. ISBN 978-0-13-042232-3. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)

參見

• 衰落
• 頻道
• 瑞利分佈
• 瑞利散射
• 萊斯衰落頻道（英語：Rician fading）
• 無線通訊