在累積概率分佈函數與特徵函數之間存在對射。也就是說,兩個不同的概率分佈不能有相同的特徵函數。
給定一個特徵函數φ,可以用以下公式求得對應的累積概率分佈函數
:
。
一般地,這是一個廣義積分;被積分的函數可能只是條件可積而不是勒貝格可積的,也就是說,它的絕對值的積分可能是無窮大。[1]
More information 特徵函數
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分佈
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特徵函數
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退化分佈
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伯努利分佈
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二項分佈
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負二項分佈
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泊松分佈
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連續均勻分佈
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拉普拉斯分佈
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正態分佈
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卡方分佈 k
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柯西分佈
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伽瑪分佈
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指數分佈
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多元正態分佈
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多元柯西分佈 [2]
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Close
Oberhettinger (1973) 提供的特徵函數表.
由於連續定理,特徵函數被用於中心極限定理的最常見的證明中。
具有尺度參數
和形狀參數k的伽瑪分佈的特徵函數為:
。
現在假設我們有:
且![{\displaystyle \ Y\sim \Gamma (k_{2},\theta )}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a3469ce0407dff9c8d7c3524461601bfa00bc185)
其中
和
相互獨立,我們想要知道
的分佈是什麼。
和
特徵函數分別為:
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{1}},\,\qquad \varphi _{Y}(t)=(1-\theta \,i\,t)^{-k_{2}}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9a968cb941343761d9d0c03e08a19f6fed6b5b5a)
根據獨立性和特徵函數的基本性質,可得:
。
這就是尺度參數為
、形狀參數為
的伽瑪分佈的特徵函數,因此我們得出結論:
,
這個結果可以推廣到
個獨立、具有相同尺度參數的伽瑪隨機變量:
。
如果
是一個平均值為零的多元高斯隨機變量,那麼:
![{\displaystyle \varphi _{X}(t)=\operatorname {E} \left(e^{it^{T}X}\right)=\int _{x\in \mathbf {R} ^{n}}{\frac {1}{\left(2\pi \right)^{n/2}\left|\Sigma \right|^{1/2}}}\,e^{-{\frac {1}{2}}x^{T}\Sigma ^{-1}x}\cdot e^{it^{T}x}\,dx=e^{-{\frac {1}{2}}t^{T}\Sigma t},\quad t\in \mathbf {R} ^{n},}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3ad2b462230646eff26039384bcff5c2bdaa1010)
其中
表示正定矩陣 Σ的行列式。
P. Levy, Calcul des probabilités, Gauthier-Villars, Paris, 1925. p. 166
Kotz et al. p. 37 using 1 as the number of degree of freedom to recover the Cauchy distribution
- Lukacs E. (1970) Characteristic Functions. Griffin, London. pp. 350
- Bisgaard, T. M., Sasvári, Z. (2000) Characteristic Functions and Moment Sequences, Nova Science