物理大地測量學

物理大地測量學（英語：Physical geodesy）是指通過重力測量等物理方法，研究地球的形狀、外部重力場及其他物理性質的學科，是現代大地測量學的基本分支之一。^[1]:4[2]其具體的內容包括邊值問題、地球正常重力、重力異常和大地水準面的確定等。與測量學的其他分支不同，物理大地測量學的研究對象並非離散或獨立的點或網，而是連續的物理場。^[3]:6

利用衛星測高技術測得的海底地形圖。尺度大於10千米的海底特徵反演自海洋表面的重力擾動。(1995，NOAA)

物理大地測量學通過對地球重力和重力場的研究，以解決大地測量學的學科問題。重力在傳統的大地測量方式中扮演着重要角色。如經緯儀等傳統的大地測量儀器，需要通過水準管等輔助設備確保其垂直軸線的方向與重力方向（即鉛垂線方向）相同。^[4]:226從而建立以觀察者為中心的地平坐標系，再進行垂直角（或天頂距）和水平角等觀測量的測定。而在水準測量中，也需要通過幾何測量與重力測量相結合的方式，來獲得兩點間唯一的重力位差，再轉化成高程的差值。而在現代大地測量學中，物理大地測量學還通過建立全球的重力場模型，為研究地球內部物質的分佈和運動，以及地球的結構和形狀提供基礎，並推動地球物理學、地球動力學等相關學科的發展。^[5]

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重力位理論

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地球重力位

地球的重力是指來自地球體的引力和因地球自轉而形成的離心慣性力的合力。在位理論中，地球上某點的重力位 ${\displaystyle W}$ 可表達為引力位 ${\displaystyle V}$ 和離心力位 ${\displaystyle \Phi }$ 的和：^{[3]:42[4]:187}

${\displaystyle W=V+\Phi }$

引力位 ${\displaystyle V}$ 的嚴格意義是組成地球體的各個質點對該點的引力位 ${\displaystyle \operatorname {d} \!v}$ 的積分：^[6]:3

${\displaystyle V=G\iiint \limits _{v}{\frac {\rho }{l}}\operatorname {d} \!v}$

其中 ${\displaystyle G}$ 為萬有引力常數，${\displaystyle \rho }$ 為質點的密度， ${\displaystyle l}$ 為質點到該點的距離。該值被精確計算的前提是已知地球的形狀（即積分的上下限）和內部的密度分佈。然而，物理大地測量學是以地球形狀作為待解問題進行研究，且觀測得到的數據幾乎都分佈於地球表面。因此，地球上任意點的精確引力位是無法通過這一公式直接求得的。^[4]:190

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重力矢量

重力矢量 ${\displaystyle \mathbf {g} }$ 則表示為重力位的梯度，可表示為笛卡爾坐標系中的一組正交基 ${\displaystyle \{{\vec {i}},{\vec {j}},{\vec {k}}\}}$ 與其在各基向量方向上的分量 ${\displaystyle \left(g_{x},g_{y},g_{z}\right)}$ 的組合：^[6]:47

${\displaystyle {\vec {\mathbf {g} }}=\nabla {W}={\partial W \over \partial x}{\vec {i}}+{\partial W \over \partial y}{\vec {j}}+{\partial W \over \partial z}{\vec {k}}=g_{x}{\vec {i}}+g_{y}{\vec {j}}+g_{z}{\vec {k}}}$

重力等位面

對於任意方向 ${\displaystyle {\vec {l}}}$ ，重力位對該方向的偏導數 ${\displaystyle {\partial W \over \partial l}}$ 與重力在這個方向的分量相等，即：^[4]:188

${\displaystyle g_{l}={\partial W \over \partial l}={\text{g}}\cdot \cos {\langle {\vec {\mathbf {g} }},{\vec {l}}\rangle }}$

當 ${\displaystyle {\vec {l}}}$ 與 ${\displaystyle {\vec {g}}}$ 垂直時， ${\displaystyle {\partial W \over \partial l}=0}$。因此在這一方向上， 重力位 ${\displaystyle W}$ 是一個常數。當這一常數等於不同的值時，得到的一簇曲面被稱為重力等位面。^[4]:188

大地測量邊值問題

由於大地測量事實上是在地球表面進行，且地球表面的形狀在物理大地測量學中是待解的未知量，如何通過分佈於地球表面的重力觀測數據來確定地球的外部形狀及重力場分佈的就成為了重要的問題。這一問題在物理學上稱為邊值問題，而在大地測量學上被稱為大地測量邊值問題（英語：the geodetic boundary value problem, GBVP）。^[7]依據不同的邊界條件，邊值問題又包括狄利克雷問題、諾伊曼問題和羅賓問題（英語：Robin boundary condition）三類。^[3]:68

斯托克斯於1849年最早提出了大地測量邊值問題的一種解決方式，即斯托克斯定理。該定理將地球重力分為正常重力和重力異常兩部分，並通過某些假設條件簡化，從而得出在大地水準面上進行積分得到的正常重力位和擾動位計算公式。^[1]這種計算方式在20世紀得到了進一步的改進。依據計算原理的不同，大地測量邊值問題又被分為斯托克斯定解問題、莫洛金斯基邊值問題和布耶哈馬問題等。

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參考文獻

1. 孔祥元; 郭際明; 劉宗泉. 大地测量学基础. 武漢大學出版社. 2001: 1–14. ISBN 978-7-30-707562-7.
2. CHAPTER V PHYSICAL GEODESY. www.ngs.noaa.gov. [2020-04-02]. （原始內容存檔於2020-08-08）.
3. Sneeuw, Nico. Physical Geodesy (PDF). Institute of Geodesy Universität Stuttgart. 2006: 6 [2020-04-02]. （原始內容 (PDF)存檔於2020-04-13）.
4. 寧津生. 管澤霖 , 編. 地球形状及外部重力场. 測繪出版社. 1981: 154–293.
5. 寧津生. 浅谈现代大地测量学. 地理空間信息. 2003, (01): 7-9.
6. Weikko A. Heiskanen; Helmut Moritz. Heiskanen Moritz 1967 Physical Geodesy. San Francisco: W. H. Freeman and Company. 1967.
7. Wang, Y. Geodetic Boundary Value Problems: 1–8. 2016-01-01. doi:10.1007/978-3-319-02370-0_42-1.