分析學家

分析學家:或致一位不信神的數學家（其中檢測了現代分析學的對象、原理和推論是否比宗教信仰更可靠）（英語：The Analyst: A Discourse Addressed to an Infidel Mathematician (Wherein It Is Examined Whether the Object, Principles, and Inferences of the Modern Analysis Are More Distinctly Conceived, or More Evidently Deduced, Than Religious Mysteries and Points of Faith)）是喬治·貝克萊於1734年發表的一篇著作。其中貝克萊用「消失量之鬼」這個詞對牛頓和萊布尼茨發展的舊有理論的根基進行簡單的批判，但沒有對微積分的結果提出異議，貝克萊承認結果是真實的，他批評的重點是微積分在邏輯上並不比宗教更嚴謹。

消失量之鬼概念簡述

考慮下例：函數 y = x²可通過如下商數進行微分：

${\displaystyle {\frac {\Delta y}{\Delta x}}}$

即y的增量（通常用Δy表示）除以x的增量（通常用Δx表示）。這個表達式可以通過代數方法化簡為：

${\displaystyle 2x+\Delta x.\,}$

為了得到原函數對應的導數，也就是2x，我們必須將無窮小量Δx去掉。因此，這個建立商數時被假設為非零（否則數無意義）的無窮小量 ，在計算的最後一步卻竟然被視為零而去除了。總之，一個「消失量」（Δx = 0），卻不會在「幽靈般地」出現（Δx ≠ 0）。貝克萊認為，這樣一個矛盾將侵蝕微積分這門新學科的邏輯根基。

解決詭論的方法

關於這個悖論，其中一個可能的解決方案是建立在超實分析中的標準部分函數（英語：Standard part function）「st」之上的（參見非標準微積分）。即：將導數定義為：

${\displaystyle {\rm {st}}\left({\frac {\Delta y}{\Delta x}}\right)}$

替代原來的無窮小量定義。亞伯拉罕·羅賓遜在他1966年的著作《非標準分析》中寫下如下的一段話：

這本書將證明萊布尼茨的理論是完全正確的，而這些理論將引出一個新奇而終將碩果纍纍的、通向經典分析和許多其它數學分支的研究方法。這種方法的關鍵就是詳盡分析數學語言和數學結構之間的關係；而這兩者之間的關係，又正是當代模型理論的基礎。

參見

• David R. Wilkins'的網頁上的分析學家 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）。內有指向貝克萊同年代人物的評論的連結。