比

此條目介紹的是術語「比」的精確定義。關於「比」的廣義，請見「比 (消歧義)」。

關於相似術語，請見「比例」、「比率」和「率」。

比（ratio）或比值，在數學上是一對孿生術語，比是兩個非零「數」或非零「同類量」之間的比較關係，另可用以表示部分佔全體的相對關係；兩數或量前後或上下並置，分別稱為前項與後項，記作 ${\displaystyle a:b}$，讀作 a比b，如右圖之 4:3。

標準解像度電視寬與高的比是 4:3 ，比值是 1.3333...

比值則強調比的數值，是由比的關係所導引出的前項除以後項的值，是兩者的倍數關係，進而引申為一個數或變量除以另一個數或變量的商值；由於是數或同類量相除，所以比值無單位^[1]。除了整數外，比值常用分數、小數、百分比來表示；小於 1的比值，又常被俗稱為比率，儘管漢語詞彙「比率」是一含糊概念，其另一方面可表示數學的率。

「比」可含糊地表示一個數或量 a 擁有另一個數或量 b 的多少倍，而 b 能除盡 a 幾次；「比值」則可清晰地顯示第一個數是第二個數的幾倍，為一明確正實數（不一定為整數）^[2]。在物理學上，不同效應的「比」，則常為重要參數或常數。但在英語中，「ratio」也意指「proportionality」（比例性）^[3]，容易混淆。

比與除法

比，依中國大陸義務教育課程及台灣國民中小學九年一貫課程，則定義為：兩個數相除。與除法不同的是其呈現兩個數或量的關係，而非像除法是一種運算。比，可以「分數」表示，也可以「比的形式」表示^[4]；前者記作 ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$，後者記作 ${\displaystyle a:b}$，均讀作 a比b。其中區隔前項和後項的數學符號「${\displaystyle :}$」稱作比號，比號前面的數稱為比的前項，比號後面的數稱為比的後項，比的後項不能為零。比的前項除以後項所得的商，稱為比值。比值相當於商，是一個數，可為整數、小數、分數；因此廣義的「比」，表示法可為「整數」、「小數」、「分數」、「百分比」、「比號」的形式。

舉例

舉例來說，若一碗水果中有八顆柳橙和六顆檸檬，則柳橙和檸檬的「比」是八比六（即${\displaystyle 8:6}$，相當於${\displaystyle 4:3}$的比），「比值」是 1.3333...。反過來說，檸檬與柳橙的比為${\displaystyle 3:4}$。此外，柳橙與所有水果之比為${\displaystyle 4:7}$（相當於${\displaystyle 8:14}$）。比${\displaystyle 4:7}$，亦可轉化為分數${\displaystyle {\frac {4}{7}}}$，表示柳橙與所有水果的比，意即有多少水果是柳橙。

單位

「比」在通常情況下，會將「兩個用相同的單位測量的量」相比，它們的比值（商）是無量綱數。若兩個量是用不同單位測量時，此比值（商）應被稱為「率」 ^[5]。

基準量與比較量

兩個非零「同類量」做比較時，置於後項而當作1的量稱為基準量，置於前項被比較的量稱為比較量；比較量除以基準量所得的商，就是比值（比的數值）。表示比較量與基準量的關係，可以用比值（商）或比（具有前項、比號、後項）兩種方式。

與比例的區別

「比例」則是「兩個比」相等的式子，表示同類型的「兩個比之間」的關係^[6]（例如，物件，人，學生，或任何相同單位的數值）；因此，比值相等的兩個比才能組成比例。組成比例的四個數，稱為比例的項；等式最兩端的兩項稱為外項，等式中央的兩項稱為內項。與比不同的是：比由兩個數組成；比例由四個數組成。

與率的區別

近代以英語主導科學定義下的「ratio」（比）和「rate」（率），是兩個相似卻在用法上有所區分的概念；但是漢語的「比」和「率」，由於漫長的歷史因素並未以科學精確區分，偶有混用，造成了有時不符合定義的稱呼；例如稱作「率」的圓周率、斜率、分率、打擊率，嚴謹來說，是一種「比」^[7]。另一漢語詞彙 比率，在使用上更為含糊，一方面可表示率，另一方面也用來代表兩個數量的比或比值，這是比的值。

參考

1. 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-29]. （原始內容存檔於2021-03-29） （中文）.
2. Penny Cyclopedia, p. 307
3. 存档副本. [2022-03-30]. （原始內容存檔於2022-05-03）.
4. New International Encyclopedia
5. "The quotient of two numbers (or quantities); the relative sizes of two numbers (or quantities)", "The Mathematics Dictionary" [1] （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
6. Wentworth, p. 55
7. 趙怡欽. 比. 國家教育研究院. 2002-12 [2022-03-30]. （原始內容存檔於2021-03-30） （中文）.

擴展閱讀

• "Ratio" The Penny Cyclopædia vol. 19 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, The Society for the Diffusion of Useful Knowledge (1841) Charles Knight and Co., London pp. 307ff
• "Proportion" New International Encyclopedia, Vol. 19 2nd ed. (1916) Dodd Mead & Co. pp270-271 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• "Ratio and Proportion" Fundamentals of practical mathematics, George Wentworth, David Eugene Smith, Herbert Druery Harper (1922) Ginn and Co. pp. 55ff （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• The thirteen books of Euclid's Elements, vol 2. trans. Sir Thomas Little Heath (1908). Cambridge Univ. Press. : 112ff [2013-05-14]. （原始內容存檔於2020-08-03）.
• D.E. Smith, History of Mathematics, vol 2 Dover (1958) pp. 477ff
• Development of Multiplicative Reasoning in the Learning of Mathematics, p.189, Ratio vs. Rate （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）

外部連結

• Khan Academy: Ratios and rational expressions, free online micro lectures （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）（英文）