正則性公理

正則公理（也叫做基礎公理）是 Zermelo-Fraenkel 集合論的公理之一。在一階邏輯中，這個公理可敘述如下：

${\displaystyle \forall A,\exists x:(\exists z:z\in A)\implies (x\in A\land (\lnot \exists y:y\in A\land y\in x))}$

翻譯為較容易理解的說法就是：

所有非空集合 A 中至少有一個這樣的元素 x ， 它與A 本身的交集為空集。即

${\displaystyle \forall A,\exists x\in A:A\neq \varnothing \implies x\cap A=\varnothing }$

從這個公理可得出兩個結果，其一為「不存在以自身為元素的集合」，其二為「沒有無限序列 a_n 使得對於所有 i，a_i+1 是 a_i 的元素」。

通過選擇公理可以證明後者的逆命題也成立：如果這樣的無限序列不存在，則正則公理為真。所以在假定選擇公理的情況下，兩個陳述是等價的。

正則公理被認為是Zermelo-Fraenkel 集合論中應用最少的公理，因為數學分支中的所有關鍵性結果都可用集合論中的其他公理證明得到。另外，不包含正則公理的康托的集合論，實際上假定了以自身為一個元素的集合的存在。

基本蘊涵

不存在以自身為元素的集合

反證，假設有一個集合A，使得 A 是自身的一個元素，即${\displaystyle A\in A}$。這時，根據配對公理，可以構造出 B = {A}，B也是一個集合。由於B中只有一個元素A，根據正則公理，我們得到${\displaystyle A\cap B=A\cap \left\{A\right\}=\varnothing }$。但是根據我們的假定${\displaystyle A\in A}$，所以${\displaystyle A\cap \left\{A\right\}=\left\{A\right\}}$，矛盾！所以不存在這樣的集合A。

不存在無限遞降的集合序列

設 f 為一定義在自然數集上的函數，且對每個 n，f(n+1) 都是 f(n) 的一個元素。定義 f 的值域 S = {f(n): n 是自然數}，按照函數的形式定義S是一個集合。對S應用正則公理，可知S中有一個元素f(k)，其與S不相交。但按照 f 和 S 的定義，f(k) 和 S 有一個公共元素（就是 f(k+1)）。這是個矛盾，所以不存在這樣的 f。

注意這個論證只有在集合（而非不可定義的類）的情況下才對 f適用。繼承有限集合 V_ω 是滿足正則公理的，所以如果你構造V_ω的一個非平凡的超冪，那麼它也會滿足正則公理，但是，它會包含無限遞減的元素序列。例如，假定 n 是非標準自然數，則有${\displaystyle (n-1)\in n}$ 和 ${\displaystyle (n-2)\in (n-1)}$ ，如此類推，對於任何標準的自然數 k 有 ${\displaystyle (n-k-1)\in (n-k)}$。所以這是個無限遞降的元素序列。但是這個序列在這個模型中是不可定義的，因此它並不是集合，也就沒有違反正則公理。

假定選擇公理，則"無限遞減的集合序列不存在"蘊涵正則公理

設非空集合 S 是正則公理的一個反例；就是說 S 的所有元素都與 S 有非空交集。設 g 是 S 的選擇函數，就是說對於 S 的每個非空子集 s，g 會把s 映射到 s 自身的一個元素。然後，在非負整數上遞歸的定義函數 f 為如下：

${\displaystyle f(0)=g(S)\,\!}$

${\displaystyle f(n+1)=g(f(n)\cap S).\,\!}$

那麼對於每個 n，f(n) 是 S 的一個元素，因此它與 S 的交集是非空的。從而f(n+1) 是良好定義的，並且是 f(n) 的一個元素。所以 f 是一個無限遞降的鏈。這是一個矛盾，所有這樣 S 不存在。

确使有序对 (a,b) 可定义为 {a,{a,b}}

這個定義消除了有序對的 Kuratowski 規範定義 (a,b) = {{a},{a,b}} 中的一對花括號。

良基性和超集合

在 1917 年，Dmitry Mirimanoff（英語：Dmitry Mirimanoff）引入了良基性概念：

一個集合 x₀ 是良基的，若且唯若它沒有無限遞降的集合序列：

· · · ${\displaystyle \in x_{2}\in x_{1}\in x_{0}.}$

在 ZFC 中通過正則公理而沒有無限遞降 ∈序列（不然，請試想{${\displaystyle x_{0},x_{1},x_{2}}$, …}並運用正則公理的定義）。實際上，正則公理經常叫做基礎公理，因為可以證明在 ZFC^-（沒有正則公理的 ZFC）中，良基性蘊涵了正規性。

在一些沒有正則公理的 ZFC 變體中，非良基集合是可以存在的。在這種系統中工作的時候，不必然良基的集合叫做超集合。明顯的，如果 A ∈ A，則 A 是非良基超集合。

超集合的理論已經應用於計算機科學（進程代數和最終語義）、語言學（情景理論（英語：Situation theory））和哲學（謊言者悖論）中。

較知名的反基礎公理有三個：

1. AFA（反基礎公理）— 由 M. Forti 和 F. Honsell 提出；
2. FAFA（Finsler 的 AFA 版本）— 由 P. Finsler 提出；
3. SAFA（Scott 的 AFA 版本）— 由 Dana Scott 提出。

其中第一個的 AFA 是基於Accessible pointed graph（英語：Accessible pointed graph）（apg），它斷言兩個超集合是相等的，若且唯若它們可被同一個 apg 描繪。在這個框架下，可以證明那定義為 Q={Q} 的所謂蒯因原子，是唯一存在的。

值得強調的是，超集合理論是經典集合論的擴展而非替代者：在超集合領域內的良基集合符合經典集合論。可以在新基礎或正集合論（或更一般的說帶有是自身的元素的全集的任何集合論）中找到的非良基種類是非常不同的。

羅素悖論和正則公理的聯繫

羅素悖論的存在說明了樸素集合論（無超集限制的概括公理模式和外延公理）不具有一致性。為避免產生悖論，只需將無限制的概括公理模式替換成弱很多的分類公理模式。這樣做會大大限制集合論的表達能力，不過丟失的表達能力可以通過引入ZF集合論中的其他公理（配對公理、併集公理、冪集公理、替換公理、無窮公理）來找回。到目前為止，這些公理應該不會導出任何矛盾。隨後可以在此基礎上添加選擇公理和正則性公理，將一些性質不好的類排除出集合論的討論範疇。已知這兩條公理相對具有一致性。

羅素悖論源於全集的存在。在ZF集合論中，使用分類公理模式，羅素悖論成為「不存在包涵（${\displaystyle \ni }$）一切的全集」的反證法歸謬（如果全集存在，那麼會產生羅素悖論）。雖然也可以通過正則性公理和配對公理來證明全集不存在（如果存在全集U，那麼{U}不滿足正則性公理），但無需正則性公理，僅分類公理模式一條就已經禁止了全集的存在性。

如果向一個公理體系添加更多公理，那麼原體系中的任何（包括不想要的）結論仍然會是擴展體系的結論。如果去掉正則性公理的ZF集合論本身是不一致的（比如說會導致羅素悖論），那麼引入正則性公理的ZF集合論仍然會導致同樣的矛盾。所以在ZF集合論中引入正則性公理不是為了避免羅素悖論。

蒯因原子的存在性（滿足x = {x}的集合），與去除正則性公理的ZFC集合論是獨立的（不會導致矛盾）。有很多非良基集合論允許特定的循環屬於的集合存在，而不會產生羅素悖論。^[1]

參考文獻

1. Rieger 2011，第175,178頁. sfn模板錯誤: 無指向目標: CITEREFRieger2011 (幫助)

• Jech, Thomas, 2003. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded. Springer. ISBN 3-540-44085-2.
• Kunen, Kenneth, 1980. Set Theory: An Introduction to Independence Proofs. Elsevier. ISBN 0-444-86839-9.

外部連結

• https://web.archive.org/web/20021118032213/http://www.trinity.edu/cbrown/topics_in_logic/sets/sets.html contains an informative description of the axiom of regularity under the section on Zermelo-Fraenkel set theory.
• Axiom of Foundation. PlanetMath.