李代數上同調

在數學中，李代數上同調是李代數的一種上同調理論，由謝瓦萊和艾倫伯格^[1]為了對緊李群的拓撲空間的上同調進行代數構造而建立。在上文提及的論文中，一個特定的被稱作Koszul復形（英語：Koszul_complex）的特殊復形，在李代數的模上定義，而其上同調則以一般形式被構造。

動機

令G為一個緊李群，則其被對應的李代數完全確定，因此由李代數來確定李群上同調應為可能的。我們使用如下的構造。注意到李群的上同調是G上的微分形式構成的復形對應的德拉姆上同調，而這個復形可以被替換為等變微分形式的復形，而後者則可以被看作帶有一個合適的微分算子的李代數的外代數。這一微分算子的構造對於任何李代數都成立，因此被用於定義所有李代數的李代數上同調。更加一般化地，我們可以用類似的構造來定義模係數的李代數上同調。

定義

令${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$是一個交換環R上的一個李代數，其泛包絡代數為${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$；令M為${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$的一個表示（或者，等效地，${\displaystyle U{\mathfrak {g}}}$的一個模）。將R考慮為${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$的一個平凡表示，則可以構造上同調群

${\displaystyle \mathrm {H} ^{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Ext} _{U{\mathfrak {g}}}^{n}(R,M)}$

（參見Ext函子）。等效地，我們可以將其看作下面這個左正合不變子模函子的右導出函子：

${\displaystyle M\mapsto M^{\mathfrak {g}}:=\{m\in M\mid gm=0\ {\text{ for all }}g\in {\mathfrak {g}}\}.}$

類似地，可以定義李代數同調群為

${\displaystyle \mathrm {H} _{n}({\mathfrak {g}};M):=\mathrm {Tor} _{n}^{U{\mathfrak {g}}}(R,M)}$

（參見Tor函子）。我們也可以將其看作下面這個右正合協不變函子的左導出函子：

${\displaystyle M\mapsto M_{\mathfrak {g}}:=M/{\mathfrak {g}}M.}$

李代數上同調的重要基本結果包括：懷特海德引理（英語：Whitehead's_lemma_(Lie_algebras)），外爾定理（英語：Weyl's_theorem_on_complete_reducibility）和萊維分解定理（英語：Levi_decomposition）。

低維上同調

第零上同調群，由定義，是李代數在模上作用的不變量：

${\displaystyle H^{0}({\mathfrak {g}};M)=M^{\mathfrak {g}}=\{m\in M\mid gm=0\ {\text{ for all }}g\in {\mathfrak {g}}\}.}$

第一上同調群，是所有導子的空間模去內導子空間：

${\displaystyle H^{1}({\mathfrak {g}};M)=Der({\mathfrak {g}},M)/Ider({\mathfrak {g}},M)}$

其中導子指一個從李代數到M的映射d使得

${\displaystyle d[x,y]=xdy-ydx~}$

若有M內的元素a使得

${\displaystyle dx=xa~}$

則稱其為內導子。

第二上同調群

${\displaystyle H^{2}({\mathfrak {g}};M)}$

是由M對李代數的李代數擴張的等價類的空間

${\displaystyle 0\rightarrow M\rightarrow {\mathfrak {h}}\rightarrow {\mathfrak {g}}\rightarrow 0}$

對於更高維的上同調群，似乎沒有簡單的詮釋存在。

參見

• 理論物理學中的BRST量子化。

註釋

1. Chevalley & Eilenberg 1948.

文獻

• Chevalley, Claude; Eilenberg, Samuel, Cohomology Theory of Lie Groups and Lie Algebras, Transactions of the American Mathematical Society (Providence, R.I.: American Mathematical Society), 1948, 63 (1): 85–124, ISSN 0002-9947, JSTOR 1990637, MR 0024908, doi:10.2307/1990637
• Hilton, P. J.; Stammbach, U., A course in homological algebra, Graduate Texts in Mathematics 4 2nd, Berlin, New York: Springer-Verlag, 1997, ISBN 978-0-387-94823-2, MR 1438546
• Knapp, Anthony W., Lie groups, Lie algebras, and cohomology, Mathematical Notes 34, Princeton University Press, 1988, ISBN 978-0-691-08498-5, MR 0938524