整環(Integral domain),又譯作整域,是抽象代數中的一個概念,指含乘法單位元的無零因子的交換環。一般假設環中乘法單位元1不等於加法單位元0,以除去平凡的環。整環是整數環的抽象化,它很好地繼承了整數環的整除性質,使得我們能夠更好地研究整除理論。
提示:此條目頁的主題不是
整數環。
整環也可以定義為理想是質理想的交換環,或交換的無零因子環。
設是一個交換環,存在,(0為加法單位元),使得
- (存在乘法單位元)
並且對任意的,如果,那麼或者,或者。用數學方式表示為:
- (沒有零因子)
就稱其為整環[1]:19。
定義中的無零因子性質也可以用環中乘法的消去律替代:如果,並且,那麼[2]:119。用數學方法表示就是:
- 整環的代表性例子是整數環。是一個交換環,並且乘法單位元1不等於加法單位0。最後,兩個整數相乘等於0,則必然有其中一個等於0。
- 多項式環是整環當且僅當其系數構成整環。比如整系數一元多項式環和實系數二元多項式環。
- 每個域都是整環[2]:122。相對的,每個阿廷整環都是域。特別地,每個有限的整環都是有限體。整數環就是一個非阿廷整環不是域的例子,因為它有無窮遞降的理想列:
- 對每個整數,是實數體的子環,因此是整環。是複數域的子環,因此是整環。當時,後者被稱為高斯整數環。
- 若是一個交換環,是的一個理想,那麼商環是整環當且僅當P是質理想。由此可推出是整環當且僅當是質理想。
在整環上可以定義類似於整數環里的整除性質。
a與b是R中的兩個元素,定義a整除b或a是b的因數或b是a的倍數,當且僅當存在R中的一個元素x使得ax = b。
整除關係滿足遞移性,即a整除b,b整除c推出a整除c。a整除b,則a整除b的所有倍數。a的兩個倍數的和與差仍是a的倍數。
1的因數稱為R的可逆元素。可逆元素整除所有元素。
若a整除b並且b整除a,則稱a與b相伴。a與b相伴當且僅當存在可逆元素u使得au = b。
非可逆元素q稱為不可約元素,如果q不能寫成兩個非可逆元素的乘積。
如果p不是零元素或可逆元素,且對任意a,b,如果p整除ab可推出p整除a或p整除b,則稱p為質元素。
這兩個定義是整數環中質數的推廣。如果p是質元素,那麼p生成的主理想是質理想。每個質元素都是不可約元素,但反過來則只有當R是唯一分解環才正確。
(英文)Joseph J. Rotman. Advanced Modern Algebra. American Mathematical Society. 2010年8月. ISBN 978-0821847411.