數沙者

數沙者（希臘語：Ψαμμίτης , Psammites ），也譯作數砂者、算沙者、沙數算者，是公元前3 世紀古希臘數學家阿基米德的著作，他在書中着手確定宇宙中沙粒數量的上限。為了做到這一點，阿基米德必須根據當時的模型估計宇宙的大小，並發明一種談論極大數字的方法。

Arenarius
中文名	數砂者
外文名	The Sand Reckoner
作者	阿基米德
類型	書面作品[*]
語言	拉丁語
主題	天文學

該作品在拉丁語中也稱為Arenarius，翻譯後約有八頁長，是寫給敘拉古國王格洛二世（希羅二世的兒子）的。它被認為是阿基米德最容易理解的作品。^[1]

命名大數

現代計數法中的周期和階及其區間[2]
周期	階	區間	用以10為底的對數表示區間（log10 ）
1	1	(1, Ơ], where the unit of the second order, Ơ = 108	(0, 8]
	2	(Ơ, Ơ2]	(8, 16]
	···
	k	(Ơk − 1, Ơk]	(8k − 8, 8k]
	···
	Ơ	(ƠƠ − 1, Ƥ], where the unit of the second period, Ƥ = ƠƠ = 108×108	(8×108 − 8, 8×108] = (799,999,992, 800,000,000]
2	1	(Ƥ, ƤƠ]	(8×108, 8 × (108 + 1)] = (800,000,000, 800,000,008]
	2	(ƤƠ, ƤƠ2]	(8 × (108 + 1), 8 × (108 + 2)]
	···
	k	(ƤƠk − 1, ƤƠk]	(8 × (108 + k − 1), 8 × (108 + k)]
	···
	Ơ	(ƤƠƠ − 1, ƤƠƠ] = (Ƥ2Ơ−1, Ƥ2]	(8 × (2×108 − 1), 8 × (2×108)] = (1.6×109 − 8, 1.6×109] = (1,599,999,992, 1,600,000,000]
···
Ơ	1	(ƤƠ − 1, ƤƠ − 1Ơ]	(8×108 × (108 − 1),  8 × (108 × (108 − 1) + 1)] = (79,999,999,200,000,000,     79,999,999,200,000,008]
	2	(ƤƠ − 1Ơ, ƤƠ − 1Ơ2]	(8 × (108 × (108 − 1) + 1),   8 × (108 × (108 − 1) + 2)]
	···
	k	(ƤƠ − 1Ơk − 1, ƤƠ − 1Ơk]	(8 × (108 × (108 − 1) + k − 1), 8 × (108 × (108 − 1) + k)]
	···
	Ơ	(ƤƠ − 1ƠƠ − 1, ƤƠ − 1ƠƠ] = (ƤƠƠ−1, ƤƠ]	(8 × (2×108 − 1), 8 × (2×108)] = (8×1016 − 8, 8×1016] = (79,999,999,999,999,992,     80,000,000,000,000,000]

首先，阿基米德必須發明一種全新的系統來將當時的計數範圍擴大到大數。古希臘使用的計數系統能將數字計到萬（μυριάς - 10,000），由此可利用「萬」這個數本身作為單位來將其擴展到萬萬（10⁸ ，即一萬個萬，即億）^[3]。阿基米德將 10⁸以內的數字稱為「一階」，並將 10⁸這一數字本身定義為「二階單位」（即上表中的O'）。二階單位的倍數就變成了「二階」，直到這個單位被取了萬萬次，即10⁸ ·10⁸ =10¹⁶ ，而這一數字就是「三階單位」，其倍數為三階，依此類推到O'階。阿基米德以這種方式命名數字，在第一周期最大能夠取到第 10 ⁸階單位的萬萬倍（即上表中的P=${\displaystyle {O'}^{O'}}$)，即(10⁸)^(10⁸)或${\displaystyle {10^{8}}^{10^{8}}}$。

完成這一任務後，阿基米德將他定義的階數稱為「第一周期的階數」，並將最後一個階數稱為「第二周期單位「，即 ${\displaystyle (10^{8})^{(10^{8})}}$ 。然後，他以類似於構建第一周期階數的方式，通過取該單位的倍數來構建第二周期階數。如此下去，他終於達到了萬萬周期的階數。阿基米德命名的最大數是這一周期的最後一個數，即

${\displaystyle \left(\left(10^{8}\right)^{(10^{8})}\right)^{(10^{8})}=10^{8\cdot 10^{16}}}$

描述這個數字的另一種方式利用短級差制（即在某數位命名系統中，billion一詞用來表示「十億」），將1後跟80萬億 (80·10 ¹⁵ ) 個0。

阿基米德的大數系統讓人想起以 10 ⁸為基數的進位制，這一系統是不凡的，因為古希臘人使用非常簡單的希臘數字系統進行計數，這一計數系統使用 字母表中的27 個字母來表示從1到9的個位數，從10 到90的十位數，以及從100到900的百位數。

指數定律

阿基米德還發現並證明了指數定律，即 ${\displaystyle 10^{a}10^{b}=10^{a+b}}$ ，簡化了10次冪的計算。

估算宇宙的大小

阿基米德隨後估算了填充宇宙所需沙粒數量的上限。為此，他使用了古希臘天文學家阿里斯塔克斯的日心模型。雖然阿里斯塔克斯的原作已失傳，但是阿基米德的這項估算工作是為數不多的、現存的、引用其理論的參考文獻之一，^[4]根據該日心模型理論，當地球繞太陽運行時，太陽保持不動。用阿基米德自己的話說：

他（阿里斯塔克斯）的假設是：恆星和太陽紋絲不動；地球在圓周上圍繞太陽旋轉，太陽位於軌道的中間；恆星的球體位於與太陽大致相同的中心，非常巨大，以至於他假定地球旋轉的圓與恆星的距離成正比，就像球心到球體表面的距離一樣。^[5]

該模型尺寸較大的原因是希臘人無法用當時的技術觀察恆星視差，這意味着任何視差都非常小，因此恆星必須放置在距離地球很遠的地方（假設日心說成立）。

根據阿基米德的說法，阿里斯塔克斯沒有說明恆星距地球有多遠。因此，阿基米德必須做出以下假設

• 宇宙是球形的
• 宇宙直徑與地球繞太陽公轉道直徑之比等於地球繞太陽軌道直公轉徑與地球直徑之比。

這一假設也可以表述為：地球繞其軌道運動造成的恆星視差等於繞地球運動引起的太陽視差。換算成比例

${\displaystyle {\frac {\text{宇宙的直径}}{\text{地球公转轨道的直径}}}={\frac {\text{地球公转轨道的直径}}{\text{ 地球的直径}}}}$

為了獲得上限，阿基米德對其維度做出了以下假設：

• 地球的周長不超過300萬statia（古希臘度量衡中的長度單位），5.55·10 ⁵ km。
• 月球的尺寸不超過地球，太陽的尺寸不超過月球的三十倍。
• 從地球上看，太陽的角直徑大於直角的 1/200（π/400弧度= 0.45 ° 度）。

阿基米德隨後得出結論：宇宙的直徑不超過10 ¹⁴stadia（以現代單位計算，約為2光年），並且需要不超過 10 ⁶³粒沙子來填充它。通過這些測量，阿基米德思想實驗中的每粒沙子的直徑約為 19 微米（0.019 毫米）。

阿里斯塔克斯宇宙中沙粒數量的計算

阿基米德聲稱，40顆並排放置的罌粟籽相當於1個希臘dactyl（古希臘度量衡長度單位中的手指寬），長度約為19毫米（3/4 英寸）。由於體積是線性尺寸的立方（「因為已經證明球體的體積是其直徑的三倍比」），所以直徑為1 dactly的球體將包含（使用我們當前的數字系統) 40³或 64,000 顆罌粟種子。

然後他聲稱（沒有證據）每顆罌粟籽中可能含有萬粒沙子。將這兩個數字相乘，他提出了 640,000,000 作為直徑為1 dactly的球體中假設的沙粒數量。

為了便於進一步計算，他將6.4億四捨五入為10億，只是需要注意到第一個數字小於第二個數字，因此隨後計算出的沙粒數將超過實際沙粒數。應顧及文章的價值是展示如何計算在當時被認為不可能的大數，而不僅僅是準確計算宇宙中沙粒的數量。

希臘體育場的長度為 600 希臘英尺，每英尺長 16 個dactyls，因此體育場內有 9,600 個dactyls。阿基米德將這個數字四捨五入到 10,000（即萬）以簡化計算，並再次指出所得數字將超過沙粒的實際數量。

10,000 的立方是一萬億（10¹²）；將十億（dactyl球體中的沙粒數量）乘以萬億（體育場球體中的dactly球體數量）得到 10²¹ ，即體育場球體中的沙粒數量

阿基米德估計阿里斯塔克宇宙的直徑為 10¹⁴的體育場，因此宇宙中相應地會有 (10¹⁴ ) ³ 個體育場球體，即10⁴²。10²¹乘以10⁴²得到10⁶³，即阿里斯塔宇宙中沙粒的數量。^[6]

根據阿基米德對罌粟種子中含有萬（10,000）顆沙粒的估計；在一個dactly球體中包含64,000顆罌粟種子；體育場的長度為 10,000 dactyl；如果採用 19 毫米作為dactyl的寬度，阿基米德典型沙粒的直徑將為18.3微米，今天我們稱之為一粒淤泥。目前，最小的沙粒直徑被定義為50微米。

其他的計算

阿基米德在他的研究之路中做了一些有趣的實驗和計算。一項實驗是估計從地球上看到的太陽的角大小。阿基米德的方法特別有趣，由於考慮了眼睛瞳孔的有限大小，^[7]因此可能是心理物理學實驗的第一個已知例子，心理物理學是處理人類感知機制的心理學分支，其發展通常是歸因於赫爾曼·馮·亥姆霍茲。另一項有趣的計算考慮了太陽視差以及觀察者與太陽之間的不同距離，無論從地球中心或日出時從地球表面觀看。這可能是第一個已知的處理太陽視差的計算。^[8]

引用

有些人，格隆王，認為沙子的數量是無窮無盡的；我所說的沙子不僅指錫拉庫扎和西西里島其他地方的沙子，還包括每個地區的沙子，不管是有人居住的還是無人居住的。另外，有些人雖然不認為沙子是無窮無盡的，但卻認為沒有任何一個數字足以超過沙子的數量。很顯然，持這種觀點的人，如果他們想像出一個由沙子組成的、在其他方面和地球一樣大的物體，其中包括所有的海洋和地球上的凹地，其高度相當於最高的山峰，那麼他們就會更加不承認有任何數字可以表達出超過沙子的數量。 但是，我將嘗試用幾何證明來向你們表明，在我給宙希波斯的作品中所給出的由我命名的數字中，有些數字不僅超過了以所述方式填滿的與地球等大的沙粒的數量，而且還超過了與宇宙等大的沙粒的數量。^[9]

——Archimedis Syracusani Arenarius & Dimensio Circuli

參考資料

1. Archimedes, The Sand Reckoner 511 R U, by Ilan Vardi （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, accessed 28-II-2007.
2. Alan Hirshfeld. Eureka Man: The Life and Legacy of Archimedes. 8 September 2009 [17 February 2016]. ISBN 9780802719799.
3. A history of analysis. H. N. Jahnke. Providence, RI: American Mathematical Society. 2003: 22. ISBN 0-8218-2623-9. OCLC 51607350.
4. Aristarchus biography at MacTutor （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, accessed 26-II-2007.
5. Arenarius, I., 4–7
6. Annotated translation of The Sand Reckoner Cal State University, Los Angeles
7. Smith, William — A Dictionary of Greek and Roman Biography and Mythology (1880), p. 272
8. Archimedes, The Sand Reckoner 511 R U, by Ilan Vardi （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, accessed 28-II-2007.
9. Newman, James R. — The World of Mathematics (2000), p. 420

擴展閱讀

• The Sand-Reckoner, by Gillian Bradshaw. Forge (2000), 348pp, ISBN 0-312-87581-9. 這是一部關於阿基米德的生活和工作的歷史小說。

外部連結

• Original Greek text （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• The Sand Reckoner (annotated)
• The Sand Reckoner (Arenario) Italian annotated translation, with notes about Archimedes and Greek mathematical notation and unit of measure （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）. Source file of the Arenarius Greek text (for LaTeX).
• Archimedes, The Sand Reckoner, by Ilan Vardi; includes a literal English version of the original Greek text （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）