拉回

拉回（pullback）是數學中一個基本概念，涉及到兩個不同但關聯的程序：預複合與纖維積。與之對偶的概念是前推。

預複合

和一個函數的預複合也許提供了拉回最基本的概念：簡單地說，設 f 是一個變量 y 的函數，這裏 y 自身又是另一個變量 x 的函數，那麼 f 可以寫成 x 的函數，這即 f 被函數 y(x) 拉回。

${\displaystyle f(y(x))\equiv g(x)}$

這樣一個基本程序，經常不經意地出現，比如在初等微積分中：有時也稱為「忽略拉回」，從流體力學到微分幾何中隨處可見。

但是，不僅只有函數可以在這種意義下「拉回」。拉回可以應用到許多其他對象中去，比如微分形式和它們的上同調類

參見：

• 拉回 (微分幾何)
• 拉回 (上同調)

纖維積

拉回作為纖維積的概念最終導致了非常廣泛的範疇的拉回，但有一些重要的特例：代數幾何中的逆像（和拉回）層，以及代數拓撲和微分幾何中的拉回叢。

參見：

• 拉回 (範疇論)
• 逆像層
• 拉回叢
• 纖維範疇

關係

兩種拉回的概念的關係可能最好是用纖維叢的截面來解釋：如果 s 是 N 上纖維叢 E 的一個截面，f 是一個從 M 到 N 的映射，那麼 s 的由 f 拉回（預複合）${\displaystyle f^{*}s=s\circ f}$ 是 M 上的拉回叢（纖維積） f^*E 的一個截面。