拋物面

拋物面(英文：Paraboloid)是二次曲面的一種。拋物面有兩種：橢圓拋物面和雙曲拋物面。橢圓拋物面在笛卡兒坐標系中的方程為：

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$

雙曲拋物面

旋轉拋物面

雙曲拋物面在笛卡兒坐標系中的方程為：

${\displaystyle z={\frac {x^{2}}{a^{2}}}-{\frac {y^{2}}{b^{2}}}.}$

性質

當a = b時，曲面稱為旋轉拋物面，它可以由拋物線繞着它的軸旋轉而成。它是拋物面反射器的形狀，把光源放在焦點上，經鏡面反射後，會形成一束平行的光線。反過來也成立，一束平行的光線照向鏡面後，會聚集在焦點上。

曲率

橢圓拋物面的參數方程為：

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}+{v^{2} \over b^{2}}\right)}$

高斯曲率為：

${\displaystyle K(u,v)={4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}}$

平均曲率為：

${\displaystyle H(u,v)={a^{2}+b^{2}+{4u^{2} \over a^{2}}+{4v^{2} \over b^{2}} \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{\frac {3}{2}}}}$

它們都是正數，在頂點處最大，越遠離頂點曲率越小，並趨近於零。

雙曲拋物面的參數方程為：

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(u,v)=\left(u,v,{u^{2} \over a^{2}}-{v^{2} \over b^{2}}\right)}$

高斯曲率為：

${\displaystyle K(u,v)={-4 \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{2}}}$

平均曲率為：

${\displaystyle H(u,v)={-a^{2}+b^{2}-{4u^{2} \over a^{2}}+{4v^{2} \over b^{2}} \over a^{2}b^{2}\left(1+{4u^{2} \over a^{4}}+{4v^{2} \over b^{4}}\right)^{\frac {3}{2}}}.}$

乘法表

如果把雙曲拋物面

${\displaystyle z={x^{2} \over a^{2}}-{y^{2} \over b^{2}}}$

順着+z的方向旋轉π/4的角度，則方程為：

${\displaystyle z={1 \over 2}\left(x^{2}+y^{2}\right)\left({1 \over a^{2}}-{1 \over b^{2}}\right)+xy\left({1 \over a^{2}}+{1 \over b^{2}}\right)}$

如果${\displaystyle \ a=b}$，則簡化為：

${\displaystyle z={2 \over a^{2}}xy}$.

最後，設${\displaystyle a={\sqrt {2}}}$，我們可以看到雙曲拋物面

${\displaystyle z={x^{2}-y^{2} \over 2}}$.

與以下的曲面是全等的：

${\displaystyle \ z=xy}$

因此它可以視為乘法表的幾何表示。

兩個${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}\rightarrow \mathbb {R} }$函數

${\displaystyle z_{1}(x,y)={x^{2}-y^{2} \over 2}}$

和

${\displaystyle \ z_{2}(x,y)=xy}$

是調和共軛，它們在一起形成解析函數

${\displaystyle f(z)={1 \over 2}z^{2}=f(x+iy)=z_{1}(x,y)+iz_{2}(x,y)}$

它是${\displaystyle \mathbb {R} \rightarrow \mathbb {R} }$函數${\displaystyle \ f(x)={1 \over 2}x^{2}}$的解析延拓。

參見

• 橢球
• 雙曲面
• 類球面
• 二次曲面
• 拋物面反射器

參考文獻

• Beyer, W. H. (Ed.). CRC Standard Mathematical Tables, 28th ed. Boca Raton, FL: CRC Press, p. 133, 1987.
• Gray, A. "The Paraboloid." §13.5 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 307-308, 1997.
• Harris, J. W. and Stocker, H. "Paraboloid of Revolution." §4.10.2 in Handbook of Mathematics and Computational Science. New York: Springer-Verlag, p. 112, 1998.
• Hilbert, D. and Cohn-Vossen, S. Geometry and the Imagination. New York: Chelsea, pp. 10-11, 1999.
• Steinhaus, H. Mathematical Snapshots, 3rd ed. New York: Dover, 1999.