彈性碰撞

彈性碰撞是碰撞前後整個系統動能不變的碰撞。彈性碰撞的必要條件是動能沒有轉成其他形式的能量（熱能、轉動能量），例如：原子的碰撞。

一維碰撞

動能守恆：(初速度記為 ${\displaystyle u}$，末速度記為 ${\displaystyle v}$)

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}}$

動量守恆：

${\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}$

從動量守恆式解 ${\displaystyle v_{1}}$：

${\displaystyle v_{1}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}-m_{2}\cdot v_{2}}{m_{1}}}}$

我們不想讓 ${\displaystyle v_{1}}$ 的分子中出現末速 ${\displaystyle v_{2}}$，這裏需要一些技巧換掉 ${\displaystyle v_{2}}$！

對動能守恆式使用平方差公式：

${\displaystyle m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}}$

${\displaystyle m_{1}(u_{1}-v_{1})(u_{1}+v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})(v_{2}+u_{2})}$

對動量守恆式移項：

${\displaystyle m_{1}(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})}$

上面兩式直接相除：

${\displaystyle u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}}$

現在可得 ${\displaystyle v_{1}}$ 的最終形式：

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}-m_{2}\cdot (u_{1}+{\boldsymbol {v}}_{1}-u_{2})}{m_{1}}}}$

把 ${\displaystyle v_{1}}$ 整理到一起：

${\displaystyle v_{1}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

同理，使用相同的套路也可得：

${\displaystyle v_{2}={\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

或用質心速度化簡為：

${\displaystyle u_{1}+v_{1}={\frac {2m_{1}v_{1}+2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=2\cdot v_{\textrm {CoM}}}$

和

${\displaystyle u_{2}+v_{2}=2\cdot v_{\textrm {CoM}}}$

性質

• ${\displaystyle v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}$ ：一個物件相對另一個物件的速度，在碰撞後逆轉。
• 物件在碰撞前後的平均動量相同。
• 質心的速度不變。
• 兩個碰撞物的質量相同，則兩者速度互換。
• 若一物碰撞一個質量相對極小的另一物，則前者的速度幾乎不變，而後者以近乎原前者兩倍速度彈出。
• 若一物碰撞一個質量相對極大的另一物，則前者的以近乎原速率反彈，而後者幾乎不動。

例子

兩相同質量物體的完全彈性碰撞

兩相同質量物體完全彈性碰撞

兩不同質量物體完全彈性碰撞

應用

中子減速劑有許多質量小的原子核的原子（另一個好處是它們不易吸收中子），因為質量最小的原子核和中子的質量十分接近。

參見

• 非彈性碰撞
• 恢復系數