弗羅貝尼烏斯流形

在微分幾何中，杜布羅溫提出的弗羅貝尼烏斯流形^[1]是切空間上具有某種兼容乘法結構的平坦黎曼流形。這一概念將弗羅貝尼烏斯代數推廣到切叢。

弗羅貝尼烏斯流形自然出現於辛拓撲，更具體地說是量子上同調之中。最廣義的定義是黎曼超流形範疇，我們這裏的討論僅限於光滑（實）流形。也可限制在複流形。

定義

令M為光滑流形。M上的仿射平面結構是指逐點擴張切叢TM、其切括號消失的向量空間的層 T^f。

局部例子：考慮M的表上的坐標向量場。若能將這樣的向量場粘合到表的覆蓋族中，則流形是仿射平面結構。

進一步給出M上的黎曼度量g。若對所有平面向量場X、Y，${\displaystyle g(X,\ Y)}$都是局部為常數的，那麼就與平面結構相容。

若且唯若黎曼流形的曲率張量在任何地方都為0，才具有相容的仿射平面結構。

TM上的交換積*族等價於${\displaystyle s^{2}(T^{*}M)\otimes TM}$的一個剖面A，通過

${\displaystyle X*Y=A(X,Y).\,}$

此外還需要屬性

${\displaystyle g(X*Y,Z)=g(X,Y*Z).\,}$

於是組合g^#∘A是對稱3張量。

這就意味着具有常數積的線性弗羅貝尼烏斯流形${\displaystyle (M,\ g,\ *)}$是弗羅貝尼烏斯代數M。

給定${\displaystyle (g,\ T^{f},\ A)}$，則局部勢Φ是局部光滑函數，使得對所有向量場X、Y、Z，有

${\displaystyle g(A(X,Y),Z)=X[Y[Z[\Phi ]]].}$

弗羅貝尼烏斯流形${\displaystyle (M,\ g,\ *)}$現在是平坦黎曼流形${\displaystyle (M,\ g)}$，其對稱3張量A在任何地方都有局部勢，且是結合的。

基本性質

積*的結合性等價於局部勢Φ中的下列二次偏微分方程：

${\displaystyle \Phi _{,abe}g^{ef}\Phi _{,cdf}=\Phi _{,ade}g^{ef}\Phi _{,bcf}\,}$

當中隱含了愛因斯坦求和約定，${\displaystyle \Phi _{,a}}$表示Φ函數對坐標向量場的偏導數${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x^{a}}}}$，已經假定後者是平坦的；${\displaystyle g^{ef}}$是度量的係數之逆。

於是，方程稱作結合性方程，或威滕-迪傑格拉夫-韋爾蘭德-韋爾蘭德（Witten–Dijkgraaf–Verlinde–Verlinde，WDVV）方程。

例子

除了弗羅貝尼烏斯代數外，量子上同調中也有些例子。比如，給定半正定辛流形${\displaystyle (M,\ \omega )}$，則在諾維科夫環在C上的偶量子上同調${\displaystyle {\rm {QH}}^{\rm {even}}(M,\ \omega )}$存在0的開鄰域U，同時U中a的大量子積${\displaystyle *_{a}}$是解析的。現在U連同相交形式${\displaystyle g=<-,\ ->}$是（復）弗羅貝尼烏斯流形。

弗羅貝尼烏斯流形的第二大類例子來自奇異點理論。比如，孤立奇異點的最小變形空間具有弗羅貝尼烏斯流形結構，其也與齋藤恭司的原形式有關。

參考文獻

1. B. Dubrovin: Geometry of 2D topological field theories. In: Springer LNM, 1620 (1996), pp. 120–348.

2. Yu.I. Manin, S.A. Merkulov: Semisimple Frobenius (super)manifolds and quantum cohomology of P^r （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Topol. Methods in Nonlinear Analysis 9 (1997), pp. 107–161