廣義位勢

拉格朗日力學時常涉及廣義位勢，因為拉格朗日量${\displaystyle {\mathcal {L}}\,\!}$的廣義式定義包含了廣義位勢：

${\displaystyle {\mathcal {L}}=T-{\mathcal {V}}\,\!}$；

其中，${\displaystyle {\mathcal {V}}\,\!}$是廣義位勢，${\displaystyle T\,\!}$是動能。

定義廣義位勢為一個函數，

${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N},\ {\dot {q}}_{1},\ {\dot {q}}_{2},\ \dots ,\ {\dot {q}}_{N},\ t)\,\!}$，

滿足下述與廣義力${\displaystyle {\mathcal {F}}\,\!}$的關係：

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial q_{i}}}+{\frac {d}{dt}}\left({\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial {\dot {q_{i}}}}}\right)\,\!}$；

其中，${\displaystyle q_{i}\,\!}$是廣義坐標，${\displaystyle {\dot {q_{i}}}\,\!}$是廣義速度，${\displaystyle t\,\!}$是時間。

假若一個物理系統滿足上述關係，此系統是單演系統。

假若一個單演系統的廣義位勢只跟廣義坐標有關，${\displaystyle {\mathcal {V}}={\mathcal {V}}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{N})\,\!}$，則此系統是保守系統。廣義力與廣義位勢的關係是

${\displaystyle {\mathcal {F}}_{i}=-{\frac {\partial {\mathcal {V}}}{\partial q_{i}}}\,\!}$。

參閱

• 拉格朗日力學
• 哈密頓力學