龐加萊-霍普夫定理

數學上，龐加萊-霍普夫(Poincaré-Hopf)定理(也稱為龐加萊-霍普夫指標定理，龐加萊-霍普夫指標公式，或霍普夫指標定理)是微分拓撲的重要定理。

定理：令 M 為緊微分流形。令 v 為 M 上有孤立零點的向量場。若 M 有邊界，則我們要求在邊界上 v 指向邊界的外法向。然後，我們有如下公式

${\displaystyle \sum _{i}\mathrm {index} _{v}(x_{i})=\chi (M)\,}$

其中，求和取遍 v 的孤立零點而 ${\displaystyle \chi (M)}$ 是 M 的歐拉示性數。

定理由龐加萊在二維的情況證明，而後由霍普夫推廣到高維。