底數 (進制)

底數（radix， base）又稱數基^[1]、基數、基值、根值^[2]、記數根^[3]，是指進位制中用以乘每個數位而得有效值的數；如十進位數的底數為 10，而二進位數的底數為 2。底數（數基）屬於記數系統所使用的一種數字表示符號。

在進位制系統中，若要表示一個數字的底數和值，會用(x)_y表示，x是每一位數字組合成的字符串，y是底數，十進制是最常用的，因此會省略底數以及字符串前後的括號。例如(100)₁₀也可以表示為100（後者省略其進制），表示一百，而(100)₂（底數為2，是二進制）表示數字4^[4]。

進位制和底數

以13進制的系統為例，398表示的數字是（十進制下的）3 × 13² + 9 × 13¹ + 8 × 13⁰ = 632。

若是在b進制（b > 1）下，各位數數字是d₁ … d_n的數，其值為 d₁bⁿ⁻¹ + d₂bⁿ⁻² + … + d_nb⁰，其中 0 ≤ d_i < b.^[4]。在十進制中，有個位數、十位數、百位數……等，而在b進制中，有個位數、b¹位數、b²位數……等^[5]。

常用的進制系統有：

底數	名稱	描述
2	二進制	是絕大多數電子計算機中使用的進制。二個數字分別是"0"和"1"，可以以用開關關閉或開啟來表示。大部份的電子計數器都使用二進制。
8	八進制	有時會在運算時使用。八個數字分別是"0"–"7"，表示三個位元（23）。
10	十進制	全世界最常使用的進制系統，一般運算也是用十進制來表示。十個數字分別是"0"–"9"。用在大部份的機械計數器（英語：mechanical counter）上。
12	十二進制	因為底數可以被2、3、4和6整除，有些情形上使用很方便。傳統上有些數量用打或籮表示的，即使用了十二進制。
16	十六進制	十六進制可以用比較簡潔的方式表示二進制（十六進制的一個數字代表二進制的四個位元），常用在電腦中。十個數字分別是"0"–"9"，以及"A"–"F"（或"a"–"f"） 而且可以表示顏色。
20	二十進制	有些文化傳統上會使用二十進制，有些文化在計數時仍會用到，有些會用score表示20。
60	六十進制	源起於古蘇美爾，後來傳到巴比倫尼亞[6]。現今表示角度的度分秒系統，以及表示時間的時分秒系統都有使用六十進制。

二進制的數字可以輕鬆的轉換為八進制和十六進制的數字，而且數字長度較短。十六進制的一個數字表示二進制的四位數字。例如十六進制的78₁₆，在二進制下是1111000₂。而八進制的一個數字也可以表示二進制的三位數字。

正整數在特定進制下的表示法是唯一的。令b大於一的正整數，則每一個正整數a都可以以以下形式表示，而且不會和其他的正整數重覆：

${\displaystyle a=r_{m}b^{m}+r_{m-1}b^{m-1}+\dotsb +r_{1}b+r_{0},}$

其中m是非負整數，r是整數，使得

0 < r_m < b and 0 ≤ r_i < b for i = 0, 1, ... , m − 1.^[7]

底數多半是自然數，不過也有一些進制的底數不是整數，例如黃金進制（底數是非整數的代數數^[8]）、負底數（英語：negative base）（底數為負）^[9]。 負底數可以在不使用負號的情形下表示負數。例如，若b = −10，則該進制下的19對應十進制下的1 × (−10)¹ + 9 × (−10)⁰ = −1。

廣義的底數

底數亦可以解釋為進位制系統進位的時機，當底數為b時，則該進制每逢b則進位一次。例如十進制底數為10，故數字每逢十就進位一次，也就是說9的下一個數將會進位到十位數，又例如八進制底數為8，故7的下一個數則逢8，進位成10₍₈₎。

此定義可以將底數推廣到非整數進制中，例如黃金進制底數為黃金比例，故黃金比例這個數在黃金進制中表達為10，因為已「逢黃金比例」因此進位到第二位數。

相關條目

• 底數 (指數)
• 混合底數進制（英語：Mixed radix）
• 多項式
• 底數經濟度
• 基數排序
• 非標準進位制記數系統

註解

1. 存档副本. [2023-07-09]. （原始內容存檔於2023-07-09）.
2. 存档副本. [2023-07-09]. （原始內容存檔於2023-07-09）.
3. 存档副本. [2023-07-09]. （原始內容存檔於2023-07-09）.
4. Mano, M. Morris; Kime, Charles. Logic and Computer Design Fundamentals 4th. Harlow: Pearson. 2014: 13–14. ISBN 978-1-292-02468-4.
5. Binary: How Do Computers Talk? | Experimonkey. experimonkey.com. [2018-12-02].^{[失效連結]}
6. Bertman, Stephen. Handbook to Life in Ancient Mesopotamia Paperback. Oxford [u.a.]: Oxford Univ. Press. 2005: 257 [2021-08-13]. ISBN 978-019-518364-1. （原始內容存檔於2021-08-13）.
7. McCoy (1968，第75頁)
8. Bergman, George. A Number System with an Irrational Base. Mathematics Magazine. 1957, 31 (2): 98–110. JSTOR 3029218. doi:10.2307/3029218.
9. William J. Gilbert. Negative Based Number Systems (PDF). Mathematics Magazine. September 1979, 52 (4): 240–244 [7 February 2015]. doi:10.1080/0025570X.1979.11976792. （原始內容存檔 (PDF)於2013-11-26）.

參考資料

• McCoy, Neal H., Introduction To Modern Algebra, Revised Edition, Boston: Allyn and Bacon, 1968, LCCN 68015225

外部連結

• Base Convert, a floating-point base calculator （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）
• MathWorld entry on base （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）