平穩過程

在數學中，平穩過程（英語：Stationary process），又稱嚴格平穩過程（英語：Strict(ly) stationary process）或強平穩過程（英語：Strong(ly) stationary process）是一種特殊的隨機過程，在其中任取一段期間或空間（${\displaystyle t=t_{1},t_{k}}$）裏的聯合概率分佈，與將這段期間任意平移後的新期間（${\displaystyle t=t_{1}+\tau -t_{k}+\tau }$）之聯合概率分佈相等。這樣，數學期望值和方差這些參數也不隨時間或位置變化。

例如，白雜訊（AWGN）就是平穩過程，鐃鈸的敲擊聲是非平穩的。儘管鐃鈸的敲擊聲基本上是白雜訊，但是這個雜訊隨着時間變化：在敲擊前是安靜的，在敲擊後聲音逐漸減弱。

在時間序列分析中穩態作為一個工具使用，在這裏原始數據經常被轉換為平穩態，例如經濟學數據經常隨着季節或者價格水平變化。如果這些過程是平穩過程與一個或者多個呈現一定趨勢的過程的線性組合，那麼這些過程就可以表述為趨勢平穩。將這些數據進行轉換保留平穩數據用於分析的過程稱為解趨勢（de-trending）。

採樣空間也是離散的離散時間平穩過程稱為Bernoulli scheme，離散採樣空間中每個隨機變量可能取得 N'個可能值中的任意一個。當 N = 2 的時候，這個過程叫做伯努利過程。

定義

如果有一個訊號${\displaystyle X}$對於所有${\displaystyle k}$都滿足以下條件，則它就是一個平穩過程：

${\displaystyle p(x_{n+k},n+k,x_{m+k},m+k)=p(x_{n},n,x_{m},m),}$

其中，${\displaystyle p(x_{n},n,x_{m},m)}$表示訊號在時刻${\displaystyle m}$取值${\displaystyle x_{m}}$，且時刻${\displaystyle n}$取值${\displaystyle x_{n}}$的概率。也就是說，${\displaystyle X_{n}}$和${\displaystyle X_{m}}$的聯合概率分佈，只和${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$的時間差有關，和其他參數都沒有關係。

另外，上述對於平穩過程的定義，在${\displaystyle m}$等於${\displaystyle n}$的情況下，也同樣會滿足上述情況，因此，如果是一個平穩隨機過程的話，應該也滿足以下條件：

${\displaystyle p(x_{n+k},n+k)=p(x_{n},n),}$

也就是說，一個平穩過程的概率密度函數（PDF）在任意時間點${\displaystyle n}$都是相同的，也就是說，這會是一個非時變函數，即與當下時間點沒有關係（time independent）。

因此，根據上面的定義，可以推導出，對於平穩過程的自相關函數也只和時間差有關，和本身的時間點沒有關係。如果假設時間差是${\displaystyle k}$，則可以得到公式如下：

${\displaystyle \phi _{XX}(n+k,n)=\phi _{XX}(k)=\mathbb {E} (X_{n+k}X_{n}^{*}).}$

此外，藉由這些公式也可以得知，平穩過程的平均數和方差也都和時間點${\displaystyle n}$沒有關係，在任意時間點的值都是相同的，可以表示成：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu _{X}&=\mu _{X_{n}}=\mathbb {E} (X_{n}),\\\sigma _{X}^{2}&=\mathbb {E} ((X_{n}-\mu _{n})^{2}).\end{aligned}}}$

範例

舉例來說，白噪音，又稱為白雜訊（white noise）就是一個典型的平穩過程，而且它的時間是連續的，並且功率譜密度是常數，也就是說，它的每個頻段的功率是一樣的。雖然說鐃鈸的敲擊如果只有一下，則因為是能量會隨着時間衰減，而不是一個平穩過程，然而當它被打擊時，是有可能產生白雜訊的響應，假設它是在一個均勻穩定的泊松過程（Poisson process）下敲擊的話，這個訊號則會形成白雜訊。

而如果是離散時間的平穩過程，同時又是在離散空間樣本下的話，則是有像是Bernoulli scheme的例子。

而在離散時間又是在連續空間樣本之下的話，則是有自回歸滑動平均模型（Autoregressive moving average model），這是研究時間序列的重要方法，是由自迴歸模型（AR模型）與滑動平均模型（MA模型）為基礎所「混合」構成。

此外，還可以假設Y是任意的隨機變量（Random variable），則同時定義一個時間數列{X_t}，對於所有的t，有以下性質：

X_t = Y

而{X_t}就是一個平穩時間數列。

廣義平穩（弱平穩）

訊號處理中常用的弱平穩也被稱為廣義平穩（Wide-sense stationary,WSS）或者協方差平穩。WSS 隨機過程僅僅要求一階和二階矩不隨時間變化。

這樣，一個 WSS 的連續時間隨機過程 x(t) 有下述數學期望值函數

1. ${\displaystyle \mathbb {E} \{x(t)\}=m_{x}(t)=m_{x}(t+\tau )\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R} }$

與相關函數

2. ${\displaystyle \mathbb {E} \{x(t_{1})x(t_{2})\}=R_{x}(t_{1},t_{2})=R_{x}(t_{1}+\tau ,t_{2}+\tau )=R_{x}(t_{1}-t_{2},0)\,\,\forall \,\tau \in \mathbb {R} .}$

第一個屬性表明數學期望值函數 m_x(t) 必須是常數。第二個屬性表明相關函數僅僅與 ${\displaystyle t_{1}}$ 和 ${\displaystyle t_{2}}$ 之間的差值相關，並且可以僅僅用一個變量而不是兩個變量來表示。這樣，

${\displaystyle \,\!R_{x}(t_{1}-t_{2},0),}$

通常可以簡化為

${\displaystyle \,\!R_{x}(\tau )}$，其中：${\displaystyle \,\!\tau =t_{1}-t_{2}}$。

當使用線性、時不變（線性時不變系統）濾波器處理廣義平穩隨機訊號的時候，將相關函數作為線性算子是很有幫助的。由於它是循環矩陣運算，只與兩個變量之間的差值有關，所以它的特徵函數是傅立葉級數複數指數函數。另外，由於線性時不變系統算子也是複指數函數，廣義平穩隨機訊號的線性非時變處理非常易於操作——所有的運算都可以在頻域進行。另外，根據線性非時變系統的特徵，也可以知道，當輸入訊號是一個廣義平穩過程時，輸出訊號也會是一個廣義平穩過程。因此，廣義平穩假設在訊號處理算法中得到了廣泛應用。

二階平穩過程

二階平穩過程是指在實際使用中，僅需一對變量（2個）在時序變化中保持平穩特性時所提出的。二階平穩過程的定義可以推廣至N階平穩過程，所謂嚴格平穩過程(SSS)具體表現為全階平穩。

當概率密度函數的一階和二階表達式對於所有可能的${\displaystyle t_{1}}$, ${\displaystyle t_{2}}$ 和 ${\displaystyle \Delta }$ 滿足以下條件時，被稱為二階平穩過程。

${\displaystyle f_{X}(x_{1}:t_{1})=f_{X}(x_{1}:t_{1}+\Delta ),\,}$

${\displaystyle f_{X}(x_{1},x_{2}:t_{1},t_{2})=f_{X}(x_{1},x_{2}:t_{1}+\Delta ,t_{2}+\Delta ),\,}$

當其均值（mean）和相關函數（correlation function）都是有限的時候，這樣的過程可以稱為廣義平穩（WSS），同時，一個廣義平穩不一定是二階平穩。

參見

• 循環平穩過程