在數論中,布朗篩法(Brun sieve;或稱布朗純篩法 (Brun's pure sieve))是一個用以估計滿足特定條件的「篩選過的」正整數集大小的技巧,而這些條件一般都以同餘表示。該篩法由維戈·布朗於1915年發展,並在後來由其他學者推廣為篩法基本引理。
描述
在篩法的術語中,布朗篩法是一種「組合篩法」,也就是一種透過小心應用容斥原理進行「篩選」的篩法。在正式討論布朗篩法前,先定義一些表記:
設為正整數的有限集,而則為質數的集合,然後設是中可為中的質數整除的數組成的集合;此外,可設為中的不同質數的乘積,在這種狀況下,可相應地定義為中可被整除的數的集合,也就是與的質因數相應的集合的交集;而也可相應地定義成本身。
設為任意實數,那麼該篩法的目標就是估計下式:
在上式中,是集合的元素個數。
此外,假若的元素個數可由下式估計的話(下式中,是一個積性函數,而是與之相應的誤差項):
那就可定義下式:
以下內容取自Cojocaru & Murty (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館)的定理6.1.2.,並使用上述的表記。
若以下條件成立:
- 對於任意由中的質數構成的無平方因子數而言,有
- 存在常數使得對於任意實數而言,有
- 對於任意中的質數,有
則有以下的關係式:
其中是的元素個數、是任意正整數,而則是大O符號。
此外,設為的最大元,那在存在足夠小的使得的狀況下,有下列關係式:
應用
參考資料
- Viggo Brun. Über das Goldbachsche Gesetz und die Anzahl der Primzahlpaare. Archiv for Mathematik og Naturvidenskab. 1915, B34 (8).
- Viggo Brun. La série où les dénominateurs sont "nombres premiers jumeaux" est convergente ou finie. Bulletin des Sciences Mathématiques. 1919, 43: 100–104, 124–128. JFM 47.0163.01.
- Alina Carmen Cojocaru; M. Ram Murty. An introduction to sieve methods and their applications. London Mathematical Society Student Texts 66. Cambridge University Press. 2005: 80–112. ISBN 0-521-61275-6.
- George Greaves. Sieves in number theory. Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3. Folge) 43. Springer-Verlag. 2001: 71–101. ISBN 3-540-41647-1.
- Heini Halberstam; H.E. Richert. Sieve Methods. Academic Press. 1974. ISBN 0-12-318250-6.
- Christopher Hooley. Applications of sieve methods to the theory of numbers. Cambridge University Press. 1976. ISBN 0-521-20915-3..
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