密勒效應

米勒效應（Miller effect）是在電子學中，反相放大電路中，輸入與輸出之間的分佈電容或寄生電容由於放大器的放大作用，其等效到輸入端的電容值會擴大1+K倍，其中K是該級放大電路電壓放大倍數。雖然一般密勒效應指的是電容的放大，但是任何輸入與其它高放大節之間的阻抗也能夠通過密勒效應改變放大器的輸入阻抗。

輸入電容的增長值為

${\displaystyle C_{M}=C(1+A_{v})\,}$

${\displaystyle -A_{v}}$是放大器的增益，${\displaystyle C}$是反饋電容。

米勒效應是米勒定理的一個特殊情況。

歷史

米勒效應是以約翰·米爾頓·密勒命名的。1919年或1920年密勒在研究真空管三極管時發現了這個效應，但是這個效應也適用於現代的半導體電晶體。

推導

圖 1: 一個理想的電壓反相放大器，帶有將輸出連接到輸入的阻抗。

假設一個放大率為${\displaystyle -A_{v}}$的理想電壓放大器，其輸入和輸出點之間的阻抗為${\displaystyle Z}$。其輸出電壓因此為${\displaystyle V_{o}=-A_{v}V_{i}}$，輸入電流則為

${\displaystyle I_{i}={\frac {V_{i}-V_{o}}{Z}}={\frac {V_{i}(1+A_{v})}{Z}}.}$

這個電流流過阻抗${\displaystyle Z}$，上面的方程顯示由於放大器的放大率實際上一個更大的電流流過${\displaystyle Z}$，實際上${\displaystyle Z}$就好像它小得多一樣。電路的輸入阻抗為

${\displaystyle Z_{in}={\frac {V_{i}}{I_{i}}}={\frac {V_{i}Z}{V_{i}(1+A_{v})}}={\frac {Z}{1+A_{v}}}.}$

假如${\displaystyle Z}$是電容的話，則

${\displaystyle Z={\frac {1}{j\omega C}}}$

由此導出的輸入阻抗為

${\displaystyle Z_{in}={\frac {1}{j\omega C(1+A_{v})}}={\frac {1}{j\omega C_{M}}}\quad \mathrm {where} \quad C_{M}=C(1+A_{v}).}$

因此密勒效應顯示的電容${\displaystyle C_{M}}$為實際上的電容${\displaystyle C}$乘以${\displaystyle (1+A_{v})}$^[1]。

註釋

大多數放大器是反向放大器，即${\displaystyle A_{v}<0}$。因此輸入的有效電容比較大。對於非反向放大器密勒效應其效應為放大器的輸入電容是負的（負阻抗變換器）。

當然這個提高的電容會破壞高頻反應。比如達靈頓電晶體的小連接和電容會由於密勒效應和達零頓電晶體的高放大率大大降低高頻反應。

密勒效應適用於所有阻抗，不僅電容。純電阻或者純電感被除以${\displaystyle 1-A_{v}}$。假如放大器不是反向的話密勒效應能夠產生負電阻和電感。

值得注意的是密勒電容是向輸入看進去的電容。在尋找所有RC時間常數時非常重要的是也注意輸出的阻抗。輸出的阻抗往往被忽視，原因是${\displaystyle {\frac {CA_{v}}{A_{v}-1}}}$，而放大器的輸出一般為低阻抗。但假如放大器是高阻抗輸出的話，比如一個放大階也是輸出階，則RC對放大器的效應有非常大的影響。這個技術被稱為極點分離。

使用共源共柵或者使用級聯放大器來取代共無線電極可以減輕密勒效應。在反饋放大器中密勒效應甚至有優點，因為否則的話需要用來穩定住放大器的電容器太大了，無法包含在電路中，一般在集成電路中電容需要的面積最大，因此大的電容往往很麻煩。

對頻率響應的影響

圖2：帶反饋電容C_C的運算放大器

圖2(A)顯示了一個放大器電路，圖1中聯繫輸出和輸入的阻抗在這裏是電容${\displaystyle C_{C}}$。一個戴維寧電源${\displaystyle V_{A}}$通過一個戴維寧電阻${\displaystyle R_{A}}$驅動這個電路。在輸出端一個${\displaystyle RC}$電路作為負載（這個負載在這裏的討論中不重要，它僅僅被用來完整整個電路）。圖中的電容向輸出電路提供${\displaystyle \ j\omega C_{C}(v_{i}-v_{O})}$的電流。

圖2(B)中的電路與圖2(A)的一樣，但是使用了密勒效應。反饋電容在輸入端被密勒電容${\displaystyle C_{M}}$取代，它與圖2(A)中的反饋電容${\displaystyle C_{C}}$吸取同樣多的電流。因此在兩個電路中輸入電路看到的負載是一樣的。在輸出端上一個相關電流電源向輸出負載提供與圖2(A)一樣大的電流。也就是說流經${\displaystyle RC}$負載的電流在兩圖中一樣大。

由於流過圖2(B)中的密勒電容的電流與流過圖2(A)中的反饋電容一樣大，米勒效應被用來把${\displaystyle C_{M}}$與${\displaystyle C_{C}}$聯繫到一起。在這個例子中這個轉換相當於把電流設為相等，即

${\displaystyle \ j\omega C_{C}(v_{i}-v_{O})=j\omega C_{M}v_{i},}$

或

${\displaystyle C_{M}=C_{C}\left(1-{\frac {v_{o}}{v_{i}}}\right)=C_{C}(1-A_{v}).}$

這個結果即引導章中的${\displaystyle C_{M}}$。

圖中的運算放大器${\displaystyle A_{v}}$的放大率與頻率無關，但是它顯示了密勒效應，也就是說${\displaystyle C_{C}}$對這個電路的頻率反響的影響。這個影響對於密勒效應來說是典型的。假如${\displaystyle C_{C}=0}$F，則電路的輸出電壓為${\displaystyle A_{v}v_{A}}$，它與頻率無關。但是加入${\displaystyle C_{C}}$不等於0的話，圖2(B)顯示在電路的輸入端上出現了一個大電容，電路的輸出電壓為

${\displaystyle {\frac {v_{o}}{v_{A}}}=A_{v}{\frac {v_{i}}{v_{A}}}=A_{v}{\frac {1}{1+j\omega C_{M}R_{A}}},}$

在頻率足夠高，${\displaystyle \omega C_{M}R_{A}>1}$的情況下輸出電壓下降。因此整個電路是一個低通濾波器。在模擬放大器中密勒效應對電路的頻率反響有非常大的影響。在這個例子中頻率${\displaystyle \omega _{3dB}}$在${\displaystyle \omega _{3dB}C_{M}R_{A}=1}$時標誌着低頻反響的終點，局限着放大器的帶寬或者截止頻率。

需要注意的是${\displaystyle C_{M}}$對放大器帶寬的限制在阻抗驅動器低（假如${\displaystyle R_{A}}$小的話${\displaystyle C_{M}R_{A}}$也小）的情況下比較小。因此減小密勒效應對帶寬的影響的一個方法是使用低阻抗驅動器。比如在驅動器和放大器之間放一個電壓跟隨器，這個方法降低放大器看到的驅動器阻抗。

這個簡單電路的輸出電壓總是${\displaystyle A_{v}v_{i}}$。但是真正的放大器有輸出電阻。假如在分析時考慮到放大器輸出電阻的話放大器的輸出電壓隨頻率的變化就非常複雜了，輸出端的受頻率影響的電流電源的影響需要被考慮。由於密勒電容的影響這些效應只有在頻率遠高於截止頻率的情況下才出現，因此這裏做的推導適用於測定密勒效應決定的放大器帶寬。

密勒近似

在上面的例子中假設${\displaystyle A_{v}}$不受頻率影響，但是實際的運算放大器往往本身就受頻率影響。受頻率影響的${\displaystyle A_{v}}$使得密勒電容也受頻率影響，因此${\displaystyle C_{M}}$不再像一個普通的電容那樣反應。不過一般${\displaystyle A_{v}}$只有在頻率遠遠高於截止頻率的情況下才反映出它受頻率的影響，因此在截止頻率以下${\displaystyle A_{v}}$可以被看作是不受頻率影響的。在低頻下使用${\displaystyle A_{v}}$來計算${\displaystyle C_{M}}$被稱為密勒近似^[1]。在這種情況下${\displaystyle C_{M}}$可以看作是不受頻率影響的。

參考資料

1. R.R. Spencer 和 M.S. Ghausi. Introduction to electronic circuit design.. Upper Saddle River NJ: Prentice Hall/Pearson Education, Inc. 2003年: 533頁 [2008-05-25]. ISBN 0-201-36183-3. （原始內容存檔於2010-01-12）.

參考文獻

• John M. Miller, Dependence of the input impedance of a three-electrode vacuum tube upon the load in the plate circuit（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Scientific Papers of the Bureau of Standards, 15(351):367-385, 1920.