完備性 (統計學)

在統計學中， 完備性，又稱完全性是統計量的一個性質。 從本質上講，它確保不同的參數值對應的分佈是不同的。一個具有完備性的統計量稱為完全統計量。

定義

考慮一個隨機變量 ${\displaystyle X}$ ，其概率分佈 ${\displaystyle P_{\theta }}$ 以 ${\displaystyle \theta }$ 為參數。稱一個統計量 ${\displaystyle s}$ 是完全的，若對任意可測函數 ${\displaystyle g}$，^[1]

如果對所有 ${\displaystyle \theta }$ 都有 ${\displaystyle E(g(s(X)))=0}$，則 ${\displaystyle P_{\theta }(g(s(X))=0)=1}$ 對所有 ${\displaystyle \theta }$ 都成立。

若對上述函數 ${\displaystyle g}$ 加上有界的條件，則稱該統計量為有界完全的。

例子

若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$是來自參數為${\displaystyle p}$的伯努利分佈的獨立隨機樣本，其中${\displaystyle p\in (0,1)}$。統計量${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$是${\displaystyle p}$的完全統計量。注意到${\displaystyle T}$服從參數為${\displaystyle n}$和${\displaystyle p}$的二項分佈。若有某個${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle E_{p}(g(T))=0}$對${\displaystyle p\in (0,1)}$都成立，則

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{i},p\in (0,1).}$

令${\displaystyle r=p/(1-p)\in \mathbb {R} }$，則多項式${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}r^{i}}$在${\displaystyle \mathbb {R} }$上恆為0。可知其每一項係數都為0，進而得到${\displaystyle g=0}$。由定義，${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$是${\displaystyle p}$的完全統計量。

完備性的重要性

巴蘇定理

主條目：巴蘇定理

有界完備性出現在巴蘇定理中，^[2] 它指出任何有界完全且充分的統計量與任何輔助統計量獨立。

Bahadur定理

有界完備性也出現在Bahadur定理中。 定理指出，當至少存在一個最小充分統計量時，如果一個統計量是充分的並且有界完全的，則它是一個最小充分統計量。