完備性 (統計學)

在統計學中， 完備性，又稱完全性是統計量的一個性質。 從本質上講，它確保不同的參數值對應的分佈是不同的。一個具有完備性的統計量稱為完全統計量。

定義

考慮一個隨機變量 ${\displaystyle X}$ ，其概率分佈 ${\displaystyle P_{\theta }}$ 以 ${\displaystyle \theta }$ 為參數。稱一個統計量 ${\displaystyle s}$ 是完全的，若對任意可測函數 ${\displaystyle g}$，^[1]

如果對所有 ${\displaystyle \theta }$ 都有 ${\displaystyle E(g(s(X)))=0}$，則 ${\displaystyle P_{\theta }(g(s(X))=0)=1}$ 對所有 ${\displaystyle \theta }$ 都成立。

若對上述函數 ${\displaystyle g}$ 加上有界的條件，則稱該統計量為有界完全的。

例子

若${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{n}}$是來自參數為${\displaystyle p}$的伯努利分佈的獨立隨機樣本，其中${\displaystyle p\in (0,1)}$。統計量${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$是${\displaystyle p}$的完全統計量。注意到${\displaystyle T}$服從參數為${\displaystyle n}$和${\displaystyle p}$的二項分佈。若有某個${\displaystyle g}$，使得${\displaystyle E_{p}(g(T))=0}$對${\displaystyle p\in (0,1)}$都成立，則

${\displaystyle 0=\sum _{i=0}^{n}{\binom {n}{i}}p^{i}(1-p)^{n-i}g(i)=(1-p)^{n}\sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}\left({\frac {p}{1-p}}\right)^{i},p\in (0,1).}$

令${\displaystyle r=p/(1-p)\in \mathbb {R} }$，則多項式${\displaystyle \sum _{i=0}^{n}g(i){\binom {n}{i}}r^{i}}$在${\displaystyle \mathbb {R} }$上恆為0。可知其每一項系數都為0，進而得到${\displaystyle g=0}$。由定義，${\displaystyle T=\sum _{i=1}^{b}X_{i}}$是${\displaystyle p}$的完全統計量。

完備性的重要性

巴蘇定理

主條目：巴蘇定理

有界完備性出現在巴蘇定理中，^[2] 它指出任何有界完全且充分的統計量與任何輔助統計量獨立。

Bahadur定理

有界完備性也出現在Bahadur定理中。 定理指出，當至少存在一個最小充分統計量時，如果一個統計量是充分的並且有界完全的，則它是一個最小充分統計量。

註釋

1. Young, G. A. and Smith, R. L. (2005). Essentials of Statistical Inference. (p. 94). Cambridge University Press.
2. Casella, G. and Berger, R. L. (2001). Statistical Inference. (pp. 287). Duxbury Press.

參考文獻

• Basu, D. J. K. Ghosh , 編. Statistical information and likelihood : A collection of critical essays by Dr. D. Basu. Lecture Notes in Statistics 45. Springer. 1988. ISBN 0-387-96751-6. MR 0953081.
• Bickel, Peter J.; Doksum, Kjell A. Mathematical statistics, Volume 1: Basic and selected topics Second (updated printing 2007) of the Holden-Day 1976. Pearson Prentice–Hall. 2001. ISBN 0-13-850363-X. MR 0443141.
• E. L., Lehmann; Romano, Joseph P. Testing statistical hypotheses. Springer Texts in Statistics Third. New York: Springer. 2005: xiv+784 [2017-12-25]. ISBN 0-387-98864-5. MR 2135927. （原始內容存檔於2013-02-02）.
• Lehmann, E.L.; Scheffé, H. Completeness, similar regions, and unbiased estimation. I.. Sankhyā: the Indian Journal of Statistics. 1950, 10 (4): 305–340. JSTOR 25048038. MR 0039201.
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