大渦模擬

大渦模擬(Large eddy simulation, LES) 是用於計算流體動力學的湍流數學模型。它最初由約瑟夫·斯瑪格林斯基於 1963 年提出，用於模擬大氣氣流， ^[1]並由迪爾多夫(1970)推廣。 ^[2] LES 目前廣泛應用於多個研究領域，包括燃燒、 ^[3]聲學、 ^[4]和大氣邊界層模擬。 ^[5]

湍流氣體速度場的大渦模擬。

通過數值求解Navier-Stokes 方程來模擬湍流需要解決非常廣泛的時間和長度尺度，所有這些都會影響流場。這樣的解像度可以通過直接數值模擬(DNS) 來實現，但 DNS 的計算成本很高，難以模擬具有複雜幾何形狀或流動配置的實際工程系統，例如湍流噴射、泵、車輛和起落架。

LES 背後的主要思想是通過 Navier-Stokes 方程的低通濾波忽略最小長度尺度來降低計算成本。這種可以被視為時間和空間平均的低通濾波，有效地從數值解中去除了小尺度信息。然而，這些信息並不是無關緊要的，它對流場的影響必須被建模，由此衍生小尺度可以發揮重要作用的問題的活躍研究領域，例如近壁流， ^{[6] [7]}反應流、 ^[3]和多相流。 ^[8]

過濾器定義和屬性

由均勻衰減湍流的直接數值模擬(DNS) 產生的速度場。域大小為${\displaystyle L^{3}}$ .

使用盒式過濾器過濾的相同 DNS 速度字段和${\displaystyle \Delta =L/32}$ .

使用盒式過濾器過濾的相同 DNS 速度字段和${\displaystyle \Delta =L/16}$ .

LES 濾波器可應用於空間和時間場${\displaystyle \phi ({\boldsymbol {x}},t)}$並執行空間濾波操作、時間濾波操作或兩者一併進行。過濾後的流場加了上劃線，定義為： ^{[9] [10]}

${\displaystyle {\overline {\phi ({\boldsymbol {x}},t)}}=\displaystyle {\int _{-\infty }^{\infty }}\int _{-\infty }^{\infty }\phi ({\boldsymbol {r}},\tau )G({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {r}},t-\tau )d\tau d{\boldsymbol {r}}}$

其中${\displaystyle G}$是濾波器卷積核。這也可以寫成：

${\displaystyle {\overline {\phi }}=G\star \phi .}$

過濾器內核${\displaystyle G}$有一個相關的截止長度尺度${\displaystyle \Delta }$和截止時間尺度${\displaystyle \tau _{c}}$ .小於這些的尺度將被消掉。使用上述過濾器定義，任何流場${\displaystyle \phi }$可以分為過濾和子過濾（用素數表示）部分，如

${\displaystyle \phi ={\bar {\phi }}+\phi ^{\prime }.}$

需要注意的是，大渦模擬濾波操作不滿足雷諾算子的性質。

過濾的控制方程

LES的控制方程是通過過濾控制流場的偏微分方程得到的${\displaystyle \rho {\boldsymbol {u}}({\boldsymbol {x}},t)}$ .不可壓縮和可壓縮 LES 控制方程之間存在差異，這導致了新濾波操作的定義。

不可壓縮流動

對於不可壓縮流動，對連續性方程和 Navier-Stokes 方程進行濾波，得到濾波後的不可壓縮連續性方程，

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0}$

和過濾後的 Navier-Stokes 方程，

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u_{i}u_{j}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u_{j}}}}{\partial x_{i}}}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij},}$

其中${\displaystyle {\bar {p}}}$是過濾後的壓力場和${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}}$是使用過濾速度評估的應變率張量。非線性濾波平流項${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$是LES建模困難的主要原因。它需要未過濾的速度場，這是未知的，因此必須對其進行建模。下面的分析說明了非線性帶來的困難，即它導致大小尺度之間的相互作用，防止尺度分離。

過濾後的平流項可以按照萊昂納德(1975)^[11]拆分為：

${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}=\tau _{ij}+{\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}}$

其中${\displaystyle \tau _{ij}}$是殘餘應力張量，因此過濾後的 Navier-Stokes 方程變為

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{i}{\overline {u}}_{j}\right)=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}+2\nu {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}}$

與殘餘應力張量${\displaystyle \tau _{ij}}$對所有未封閉的項進行分組。 Leonard 將這個應力張量分解為${\displaystyle \tau _{ij}=L_{ij}+C_{ij}+R_{ij}}$並為每個項提供物理解釋。 ${\displaystyle L_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$ 是倫納德張量，代表大尺度之間的相互作用；${\displaystyle R_{ij}={\overline {u_{i}^{\prime }u_{j}^{\prime }}}}$ 為類雷諾應力項，表示子濾波器尺度 (SFS) 之間的相互作用；${\displaystyle C_{ij}={\overline {{\bar {u}}_{i}u_{j}^{\prime }}}+{\overline {{\bar {u}}_{j}u_{i}^{\prime }}}}$ 是克拉克張量， ^[12]表示大尺度和小尺度之間的跨尺度相互作用。 ^[11]建模未閉合項${\displaystyle \tau _{ij}}$是亞網格尺度（SGS）模型需要解析的項。亞網格應力張量${\displaystyle \tau _{ij}}$的存在，使這變得具有挑戰性必須考慮所有尺度之間的相互作用，包括過濾尺度與未過濾尺度。

被動純量${\displaystyle \phi }$的濾波控制方程 ，例如混合分數或溫度，可以寫成

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\phi }}}{\partial t}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {u}}_{j}{\overline {\phi }}\right)={\frac {\partial {\overline {J_{\phi }}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial q_{j}}{\partial x_{j}}}}$

其中${\displaystyle J_{\phi }}$是${\displaystyle \phi }$的擴散通量，${\displaystyle q_{j}}$是純量${\displaystyle \phi }$的子濾波器通量。過濾後的擴散通量${\displaystyle {\overline {J_{\phi }}}}$是未封閉的，除非假設它具有特定的形式，例如梯度擴散模型${\displaystyle J_{\phi }=D_{\phi }{\frac {\partial \phi }{\partial x_{i}}}}$ . ${\displaystyle q_{j}}$的定義形式類似${\displaystyle \tau _{ij}}$ ：

${\displaystyle q_{j}={\bar {\phi }}{\overline {u}}_{j}-{\overline {\phi u_{j}}}}$

並且可以類似地分解為各種尺度之間相互作用的貢獻。這種子過濾器通量也需要子過濾器模型。

推導

使用愛因斯坦求和約定，笛卡爾坐標中不可壓縮流體的 Navier-Stokes 方程為

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{i}}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}+{\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

過濾動量方程導致

${\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}}{\partial t}}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\overline {{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}}}+{\overline {\nu {\frac {\partial ^{2}u_{i}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}}.}$

如果我們假設過濾和微分對等，那麼

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}.}$

這個方程模擬了過濾變量的時間變化${\displaystyle {\bar {u_{i}}}}$ .由於未過濾的變量${\displaystyle u_{i}}$未知，無法直接計算${\displaystyle {\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}}$ 。然而，${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}}$是已知的。進行了替換：

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-\left({\overline {\frac {\partial u_{i}u_{j}}{\partial x_{j}}}}-{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}{\bar {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}\right).}$

令${\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$ 。得到的方程組是 LES 方程：

${\displaystyle {\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial t}}+{\bar {u_{j}}}{\frac {\partial {\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+\nu {\frac {\partial ^{2}{\bar {u_{i}}}}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}-{\frac {\partial \tau _{ij}}{\partial x_{j}}}.}$

可壓縮控制方程

對於可壓縮流動的控制方程，每個方程都從質量守恆開始過濾。這給出了：

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}\rho }}}{\partial x_{i}}}=0}$

這導致了一個額外的子過濾器項。然而，希望避免必須對質量守恆方程的子過濾器尺度進行建模。出於這個原因，Favre ^[13]提出了一種密度加權濾波操作，稱為 Favre 濾波，定義為任意量${\displaystyle \phi }$為：

${\displaystyle {\tilde {\phi }}={\frac {\overline {\rho \phi }}{\overline {\rho }}}}$

在不可壓縮的限制下，它變成了正常的過濾操作。這使得質量守恆方程化為：

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial x_{i}}}=0.}$

然後可以將此概念擴展到編寫可壓縮流的 Favre 過濾動量方程。根據弗雷曼： ^[14]

${\displaystyle {\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}}{\partial t}}+{\frac {\partial {\overline {\rho }}{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\overline {p}}}{\partial x_{i}}}-{\frac {\partial {\tilde {\sigma }}_{ij}}{\partial x_{j}}}=-{\frac {\partial {\overline {\rho }}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}$

其中${\displaystyle \sigma _{ij}}$是剪應力張量，對於牛頓流體，由下式給出：

${\displaystyle \sigma _{ij}=2\mu (T)S_{ij}-{\frac {2}{3}}\mu (T)\delta _{ij}S_{kk}}$

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left({\overline {\sigma }}_{ij}-{\tilde {\sigma }}_{ij}\right)}$這一項表示評估粘度的子過濾器粘性貢獻${\displaystyle \mu (T)}$使用 Favre 過濾溫度${\displaystyle {\tilde {T}}}$ . Favre 濾波動量場的亞網格應力張量：${\displaystyle \tau _{ij}^{r}={\widetilde {u_{i}\cdot u_{j}}}-{\tilde {u_{i}}}{\tilde {u_{j}}}}$

以此類推，萊昂納德分解也可以寫成濾波三重積的殘餘應力張量${\displaystyle {\overline {\rho \phi \psi }}}$ 。三重乘積可以使用 Favre 過濾運算符重寫為${\displaystyle {\overline {\rho }}{\widetilde {\phi \psi }}}$ ，這是一個未封閉的項（它需要場${\displaystyle \phi }$和${\displaystyle \psi }$的信息, 當只有${\displaystyle {\tilde {\phi }}}$和${\displaystyle {\tilde {\psi }}}$兩項是已知的時候）。它可以以類似於上面提到的${\displaystyle {\overline {u_{i}u_{j}}}}$的方式分解，這導致子濾波器應力張量${\displaystyle {\overline {\rho }}\left({\widetilde {\phi \psi }}-{\tilde {\phi }}{\tilde {\psi }}\right)}$ 。這個子過濾器項可以分為三種類型的相互作用的貢獻：倫達德張量${\displaystyle L_{ij}}$, 代表解析尺度之間的相互作用；克拉克張量${\displaystyle C_{ij}}$ ，表示已解析和未解析的尺度之間的相互作用；和雷諾張量${\displaystyle R_{ij}}$ ，它表示未解析的尺度之間的相互作用。 ^[15]

濾波動能方程

除了過濾的質量和動量方程之外，過濾動能方程可以提供額外的見解。可以過濾動能場以產生總過濾動能：

${\displaystyle {\overline {E}}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}}$

過濾後的總動能可以分解為兩項：過濾後的速度場的動能${\displaystyle E_{f}}$ ,

${\displaystyle E_{f}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}}$

和剩餘動能${\displaystyle k_{r}}$ ,

${\displaystyle k_{r}={\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}u_{i}}}-{\frac {1}{2}}{\overline {u_{i}}}\,{\overline {u_{i}}}={\frac {1}{2}}\tau _{ii}^{r}}$

這樣${\displaystyle {\overline {E}}=E_{f}+k_{r}}$ .

守恆方程為${\displaystyle E_{f}}$可以通過將濾波後的動量傳輸方程乘以${\displaystyle {\overline {u_{i}}}}$產生：

${\displaystyle {\frac {\partial E_{f}}{\partial t}}+{\overline {u_{j}}}{\frac {\partial E_{f}}{\partial x_{j}}}+{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {p}}}{\partial x_{i}}}+{\frac {\partial {\overline {u_{i}}}\tau _{ij}^{r}}{\partial x_{j}}}-2\nu {\frac {\partial {\overline {u_{i}}}{\bar {S_{ij}}}}{\partial x_{j}}}=-\epsilon _{f}-\Pi }$

其中${\displaystyle \epsilon _{f}=2\nu {\bar {S_{ij}}}{\bar {S_{ij}}}}$是粘性應力對過濾速度場的動能的耗散，並且${\displaystyle \Pi =-\tau _{ij}^{r}{\bar {S_{ij}}}}$表示動能的子過濾尺度 (SFS) 耗散。

左邊的項代表運輸，右邊的項是耗散動能的匯項。 ^[9]

${\displaystyle \Pi }$ SFS 耗散項特別令人感興趣，因為它代表能量從大分辨尺度到小未分辨尺度的轉移。一般， ${\displaystyle \Pi }$將能量從大尺度轉移到小尺度。然而，瞬間${\displaystyle \Pi }$可以是積極的或消極的，這意味着它也可以作為源項${\displaystyle E_{f}}$, 濾波後的速度場的動能。能量從未解析到已解析尺度的傳遞稱為反向散射（同樣，能量從已解析到未解析尺度的傳遞稱為前向散射）。 ^[16]

LES的數值方法

大渦模擬涉及使用計算流體動力學求解離散濾波控制方程。 LES 從域大小中解析尺度${\displaystyle L}$過濾器尺寸${\displaystyle \Delta }$ ，因此必須解決很大一部分高波數湍流波動。這需要高階數值方案，或者如果使用低階數值方案，則需要精細的網格解像度。 波普 ^[9]的第 13 章解決了網格解像度有多精細的問題${\displaystyle \Delta x}$需要解析過濾的速度場${\displaystyle {\overline {u}}({\boldsymbol {x}})}$ . Ghosal ^[17]發現，對於低階離散化方案，例如在有限體積方法中使用的那些，截斷誤差可以與子濾波器尺度貢獻相同，除非濾波器寬度${\displaystyle \Delta }$比網格間距${\displaystyle \Delta x}$大得多。雖然偶數階方案具有截斷誤差，但它們是非耗散的， ^[18]並且由於子濾波器尺度模型是耗散的，偶數階方案不會像耗散方案那樣強烈地影響子濾波器尺度模型的貢獻。

過濾器實現

大渦模擬中的濾波操作可以是隱式的，也可以是顯式的。隱式過濾認識到子過濾器比例模型將以與許多數值方案相同的方式消散。通過這種方式，可以假設網格或數值離散化方案是 LES 低通濾波器。雖然這充分利用了網格解像度，並消除了計算子濾波器比例模型項的計算成本，但很難確定與一些數值問題相關的 LES 濾波器的形狀。此外，截斷誤差也可能成為問題。 ^[19]

在顯式濾波中， LES 濾波器應用於離散的 Navier-Stokes 方程，提供明確定義的濾波器形狀並減少截斷誤差。然而，顯式過濾比隱式過濾需要更精細的網格，並且計算量與${\displaystyle (\Delta x)^{4}}$成正比。Sagaut (2006) 的第 8 章更詳細地介紹了 LES 的數值問題。 ^[10]

大渦模擬的邊界條件

入口邊界條件對LES的精度影響很大，對於LES入口條件的處理是一個複雜的問題。理論上，一個良好的 LES 邊界條件應包含以下特徵： ^[20]

(1) 提供準確的流動特性信息，即速度和湍流；

(2) 滿足 Navier-Stokes 方程和其他物理；

(3)易於實施和適應不同情況。

目前，為 LES 生成入口條件的方法大致分為 Tabor 等人分類的兩類： ^[21]

產生湍流入口的第一種方法是根據具體情況合成它們，例如傅里葉技術、原理正交分解（POD）和渦流方法。合成技術試圖在入口處構建具有合適的類湍流特性的湍流場，並使其易於指定湍流參數，例如湍流動能和湍流耗散率。此外，使用隨機數生成的入口條件在計算上並不昂貴。然而，該方法存在一個嚴重的缺陷。合成的湍流不滿足由 Navier-Stokes 方程控制的流體流動的物理結構。 ^[20]

第二種方法涉及一個單獨的前體計算，以生成一個湍流數據庫，該數據庫可以引入到入口處的主要計算中。數據庫（有時稱為「庫」）可以通過多種方式生成，例如循環域、預先準備好的庫和內部映射。然而，前驅體模擬產生湍流流入的方法需要很大的計算能力。

研究人員檢查了各種合成和前體計算的應用，發現入口湍流越真實，LES 預測結果就越準確。 ^[20]

模型未解析的尺度

為了討論未解析尺度的建模，首先必須對未解析尺度進行分類。它們分為兩組：已解決的子過濾器尺度(SFS) 和子網格尺度(SGS)。

解析的子濾波器尺度表示波數大於截止波數的尺度${\displaystyle k_{c}}$ ，但其影響被過濾器抑制。僅當使用波空間中的非局部濾波器（例如盒式或高斯濾波器）時，才存在已解析的子濾波器尺度。這些解析的子過濾器尺度必須使用過濾器重建來建模。

子網格比例是小於截止濾波器寬度${\displaystyle \Delta }$的任何比例。SGS 模型的形式取決於過濾器的實現。如LES 數值方法部分所述，如果考慮隱式 LES，則不實施 SGS 模型，並且假設離散化的數值效應模擬未解決的湍流運動的物理特性。

子網格比例模型

如果沒有普遍有效的湍流描述，則在構建和應用 SGS 模型時必須利用經驗信息，並輔以伽利略不變性^[9]等基本物理約束。^[22]存在兩類 SGS 模型；第一類是功能模型，第二類是結構模型。一些模型可能被歸類為兩者。

功能（渦粘）模型

功能模型比結構模型更簡單，只關注以物理上正確的速率耗散能量。這些基於人工渦流粘度方法，其中湍流的影響集中在湍流粘度中。該方法將亞網格尺度上的動能耗散視為類似於分子擴散。在這種情況下，偏斜部分${\displaystyle \tau _{ij}}$被建模為：

${\displaystyle \tau _{ij}^{r}-{\frac {1}{3}}\tau _{kk}\delta _{ij}=-2\nu _{\mathrm {t} }{\bar {S}}_{ij}}$

其中${\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }}$是湍流渦流粘度和${\displaystyle {\bar {S}}_{ij}={\frac {1}{2}}\left({\frac {\partial {\bar {u}}_{i}}{\partial x_{j}}}+{\frac {\partial {\bar {u}}_{j}}{\partial x_{i}}}\right)}$是應變率張量。

根據量綱分析，渦流粘度的單位必須為${\displaystyle \left[\nu _{\mathrm {t} }\right]={\frac {\mathrm {m^{2}} }{\mathrm {s} }}}$ 。大多數渦流粘度 SGS 模型將渦流粘度建模為特徵長度尺度和特徵速度尺度的乘積。

Smagorinsky-Lilly 模型

第一個成功開發的 SGS 模型是 Smagorinsky-Lilly SGS 模型，它由Smagorinsky ^[1]開發並用於 Deardorff 的第一個 LES 模擬。 ^[2]它將渦流粘度建模為：

${\displaystyle \nu _{\mathrm {t} }=C\Delta ^{2}{\sqrt {2{\bar {S}}_{ij}{\bar {S}}_{ij}}}=C\Delta ^{2}\left|{\bar {S}}\right|}$

其中${\displaystyle \Delta }$是網格大小，${\displaystyle C}$是一個常數。

該方法假設小尺度的能量產生和耗散處於平衡狀態——即， ${\displaystyle \epsilon =\Pi }$ .

動態模型（Germano 等）

Germano 等 ^[23]使用 Smagorinsky 模型確定了許多研究，每個研究都發現了不同的 Smagorinsky 常數值${\displaystyle C}$針對不同的流量配置。為了試圖為 SGS 模型制定一種更通用的方法，Germano 等提出了一個動態 Smagorinsky 模型，它使用了兩個過濾器：一個網格 LES 過濾器，表示為${\displaystyle {\overline {f}}}$ ，以及一個測試 LES 濾波器${\displaystyle {\hat {f}}}$，用於任何湍流的場${\displaystyle f}$ 。測試過濾器的尺度大於網格過濾器，並在 LES 表示的已經平滑的場上增加了對湍流場的額外平滑。將測試濾波器應用於 LES 方程（通過將「網格」濾波器應用於 Navier-Stokes 方程獲得）會產生一組新的方程，它們的形式相同但 SGS 應力項${\displaystyle \tau _{ij}={\overline {u_{i}u_{j}}}-{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}$被${\displaystyle T_{ij}={\widehat {\overline {u_{i}u_{j}}}}-{\hat {\bar {u}}}_{i}{\hat {\bar {u}}}_{j}}$所替代。 Germano等注意到即使兩者都由於存在未解析的尺度而無法精確計算，這兩個張量之間仍然存在一個精確的關係。這種關係被稱為 Germano 恆等式：

${\displaystyle L_{ij}=T_{ij}-{\hat {\tau }}_{ij}.}$

這裏${\displaystyle L_{ij}={\widehat {{\bar {u}}_{i}{\bar {u}}_{j}}}-{\widehat {{\bar {u}}_{i}}}{\widehat {{\bar {u}}_{j}}}}$可以直接計算得出，因為它只涉及過濾的速度和測試過濾的操作。同一性的意義在於，如果假設湍流是自相似的，那麼網格和測試級別的 SGS 應力具有相同的形式${\displaystyle \tau _{ij}-(\tau _{kk}/3)\delta _{ij}=-2C\Delta ^{2}|{\bar {S}}_{ij}|{\bar {S}}_{ij}}$和${\displaystyle T_{ij}-(T_{kk}/3)\delta _{ij}=-2C{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$ ，則 Germano 恆等式提供了一個方程，從中可以得到 Smagorinsky 係數${\displaystyle C}$ （不再是「常數」）可能得以推出。

為了做到這一點，需要在原始推導中引入x兩個額外的步驟。首先，假設即使${\displaystyle C}$原則上是可變的，變化足夠慢，可以從過濾操作中移出：${\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}$ 。其次，既然${\displaystyle C}$是一個純量，Germano 恆等式與一個二階張量（選擇應變張量的速率）聯繫起來，以將其轉換為一個純量方程，從而推出${\displaystyle C}$。 Lilly ^[24]發現了一種從張量恆等式中推出 ${\displaystyle C}$的更好的方法。他指出，Germano 恆等式需要在空間中的每個點上滿足單個量的九個方程（其中只有五個是獨立的） ${\displaystyle C}$值 。因此對${\displaystyle C}$的推算條件多餘了。他提議${\displaystyle C}$通過最小化殘差使用最小二乘擬合來確定。由此得：${\displaystyle C={\frac {L_{ij}m_{ij}}{m_{kl}m_{kl}}}.}$

其中${\displaystyle m_{ij}=\alpha _{ij}-{\widehat {\beta }}_{ij}}$。為簡潔起見${\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}^{2}|{\hat {\bar {S}}}|{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$, ${\displaystyle \beta _{ij}=-2\Delta ^{2}|{\bar {S}}|{\bar {S}}_{ij}}$在 LES 模擬中實施該模型的最初嘗試被證明是不成功的。首先，計算出的係數根本不像假設的那樣「緩慢變化」，而且變化與任何其他湍流場一樣多。其次，計算${\displaystyle C}$可以是積極的，也可以是消極的。後一個事實本身不應被視為缺點，因為使用過濾的 DNS 字段的先驗測試表明，本地子網格耗散率${\displaystyle -\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}}$即使在流體域上的積分始終為正，表示大尺度上的能量淨耗散，在湍流場中的積分幾乎與正數一樣可能為負數。與渦粘度的嚴格正相反，正值的輕微優勢導致觀察到的淨耗散。這種從小到大的能量「反向散射」確實對應於 Smagorinsky 模型中的負 C 值。然而，發現 Germano-Lilly 公式不能產生穩定的計算。通過在同質方向上平均分子和分母（在流動中存在這樣的方向），採用了一種特別的方法

${\displaystyle C={\frac {\left\langle L_{ij}m_{ij}\right\rangle }{\left\langle m_{kl}m_{kl}\right\rangle }}.}$

當平均涉及足夠大的統計樣本時，計算${\displaystyle C}$是正的（或至少極少負值）穩定的計算是可能的。簡單地將負值設置為零（一個稱為「剪裁」的過程），無論有或沒有平均，也會提高計算穩定性。 Meneveau 提出^[25]對具有指數衰減「記憶」的拉格朗日流體軌跡進行平均。這可以應用於缺乏均勻方向的問題，並且如果進行平均的有效時間足夠長，但又不足以消除感興趣的空間不均勻性，那麼這可以是穩定的。

Lilly 對 Germano 方法的修改，然後是統計平均或綜合去除負粘度區域似乎是臨時的，即使它可以「工作」。 Ghosal 等人提出了一種稱為「動態定位模型」（DLM）的最小二乘最小化過程的替代公式。 ^[26]在這種方法中，首先定義一個量

${\displaystyle E_{ij}=L_{ij}-T_{ij}+{\hat {\tau }}_{ij}}$

張量${\displaystyle \tau _{ij}}$和${\displaystyle T_{ij}}$替換為適當的 SGS 模型。然後，該張量表示子網格模型未能在每個空間位置符 Germano 恆等式的數量。在Lilly的方法中，${\displaystyle C}$可以脫離帽符算子：

${\displaystyle {\widehat {C(.)}}=C{\widehat {(.)}}}$

使得${\displaystyle E_{ij}}$成為一個${\displaystyle C}$的代數函數，然後通過要求確定${\displaystyle E_{ij}E_{ij}}$被認為是${\displaystyle C}$的函數具有最小的可能值。然而，由於${\displaystyle C}$如此獲得的結果與湍流中的任何其他波動量一樣可變，原始假設${\displaystyle C}$不能後天證明。在 DLM 方法中，通過不調用從測試過濾操作中刪除${\displaystyle C}$的步驟來避免這種不一致。相反，人們通過數量定義了整個流的全局誤差：

${\displaystyle E[C]=\int E_{ij}E_{ij}dV}$

其中積分範圍在整個流體體積上。這個全局誤差${\displaystyle E[C(x,y,z,t)]}$是空間變化函數${\displaystyle C(x,y,z,t)}$ 的函數（這裏的瞬時${\displaystyle t}$是固定的，只是作為一個參數出現），${\displaystyle C}$的結果需要讓誤差最小化。這個變分問題的解決方法是${\displaystyle C}$必須滿足第二類 Fredholm 積分方程

${\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}}$

其中函數${\displaystyle K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})}$和${\displaystyle f({\boldsymbol {x}})}$根據解析的項${\displaystyle L_{ij},\alpha _{ij},\beta _{ij}}$定義，因此在每個時間步長和整個流體域的積分範圍都是已知的。積分方程通過迭代程序進行數值求解，如果與預處理方案一起使用，則發現收斂通常很快。儘管這種變分方法消除了 Lilly 方法中固有的不一致性，但${\displaystyle C(x,y,z,t)}$從積分方程獲得的仍然顯示出與負粘度相關的不穩定性。這可以通過堅持來解決${\displaystyle E[C]}$受約束最小化${\displaystyle C(x,y,z,t)\geq 0}$ .這導致了一個${\displaystyle C}$的非線性方程：

${\displaystyle C({\boldsymbol {x}})=\left[f({\boldsymbol {x}})+\int K({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})C({\boldsymbol {y}})d{\boldsymbol {y}}\right]_{+}}$

這裏後綴 + 表示「正數部分」，即， ${\displaystyle x_{+}=(x+|x|)/2}$ 。儘管這表面上看起來像「剪裁」，但它不是一個臨時方案，而是約束變分問題的真正解決方案。這種 DLM(+) 模型被發現是穩定的，並且對於強制和衰減的各向同性湍流、通道流動和各種其他更複雜的幾何形狀產生了出色的結果。如果流動恰好具有均勻的方向（讓我們說方向 x 和 z），那麼可以引入假定 ${\displaystyle C=C(y,t)}$ 。然後，變分方法立即產生 Lilly 的結果，對均勻方向進行平均，無需對先前結果進行臨時修改。

DLM(+) 模型的一個缺點是它沒有描述反向散射，而反向散射在分析 DNS 數據時被認為是真實的「事物」。開發了兩種方法來解決這個問題。由於 Carati 等人的一種方法。 ^[27]類似於朗道的脈動流體力學理論，增加了一個由漲落耗散定理確定的振幅的脈動力。在第二種方法中，有人注意到任何「反向散射」能量出現在解析尺度中，只是以亞網格尺度中的能量為代價。 DLM 可以通過一種簡單的方式進行修改，以考慮到這一物理事實，從而在本質上穩定的同時允許反向散射。 在DLM 的這個 k 方程版本中，DLM(k) 替換在 Smagorinsky 渦流粘度模型中的${\displaystyle \Delta |{\bar {S}}|}$一項，以${\displaystyle {\sqrt {k}}}$作為適當的速度尺度。確定${\displaystyle C}$的流程保持與「無約束」版本相同，除了張量${\displaystyle \alpha _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {K}}{\hat {\bar {S}}}_{ij}}$, ${\displaystyle \beta _{ij}=-2{\hat {\Delta }}{\sqrt {k}}{\bar {S}}_{ij}}$（其中子測試尺度動能 K 與子網格尺度動能 k 的關係為${\displaystyle K=k+L_{ii}/2}$ ）（接着追蹤 Germano 恆等式）。為了確定 k，我們現在使用傳輸方程

${\displaystyle {\frac {\partial k}{\partial t}}+u_{j}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}=-\tau _{ij}{\bar {S}}_{ij}-{\frac {C_{*}}{\Delta }}k^{3/2}+{\frac {\partial }{\partial x_{j}}}\left(D\Delta {\sqrt {k}}{\frac {\partial k}{\partial x_{j}}}\right)+\nu {\frac {\partial ^{2}k}{\partial x_{j}\partial x_{j}}}}$

其中${\displaystyle \nu }$是運動粘度，${\displaystyle C_{*},D}$是分別代表動能耗散和擴散的正係數。這些可以按照 DLM(+) 中的約束最小化的動態過程來確定。這種方法雖然比 DLM(+) 實施起來更昂貴，但被發現是穩定的，並且與測試的各種流的實驗數據有很好的一致性。此外，DLM(k) 在數學上不可能導致計算不穩定，因為大尺度和 SGS 能量的總和不會因構造而增加。這兩種結合反向散射的方法都運作良好。與 DLM(+) 相比，它們產生的模型耗散稍小，性能有所提高。 DLM(k) 模型還產生子網格動能，這可能是一個感興趣的物理量。這些改進是在模型實現的成本有所增加的情況下實現的。

動態模型起源於 1990 年史丹福大學湍流研究中心(CTR) 的暑期項目 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）。一系列「CTR-Tea」研討會慶祝了湍流建模這一重要里程碑的30 周年 （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）。

另見

• 流體力學
• 伽利略不變性——某些類型濾波器的重要屬性
• 雷諾平均 Navier-Stokes 方程
• 湍流

延伸閱讀

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