多項式矩陣

提示：此條目頁的主題不是矩陣多項式。

多項式矩陣，也稱為λ－矩陣、矩陣係數多項式（不是矩陣多項式），是數學中矩陣論里的概念，指係數是多項式的方塊矩陣。使用「λ－矩陣」的名稱時，說明係數多項式以λ為不定元。

嚴格定義

給定自然數n和係數環${\displaystyle \mathbf {R} }$，一個n階多項式矩陣A為如下形式^[1]:120：

${\displaystyle A(\lambda )=\left[a_{i,j}(\lambda )\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n},\quad \forall 1\leqslant i,j\leqslant n,\;\;a_{i,j}(\lambda )=\sum _{k=0}^{d_{i,j}}a_{i,j,k}\lambda ^{k}\in \mathbf {R} \left[\lambda \right]}$，

其中${\displaystyle d_{i,j}}$是每個多項式${\displaystyle a_{i,j}(\lambda )}$的次數。如果設其中最大的為${\displaystyle d}$：

${\displaystyle d=\max _{1\leqslant i,j\leqslant n}\{d_{i,j}\}}$

那麼多項式矩陣A也可以表達為^[2]:232：

${\displaystyle A=\sum _{k=0}^{d}\lambda ^{k}\left[a_{i,j,k}\right]_{1\leqslant i,j\leqslant n}=\sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}.}$

其中約定當${\displaystyle k>d_{i,j}}$時，${\displaystyle a_{i,j,k}=0}$.

由於多項式矩陣也能被表達為以（數值）矩陣為係數的多項式，所以也被稱為矩陣係數多項式。如果最高次係數矩陣${\displaystyle A(d)}$的行列式不為零，則稱多項式矩陣A為為正則多項式矩陣（regular polynomial matrix）^[2]:232。所有n階多項式矩陣的集合記為${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} \left[\lambda \right])}$或${\displaystyle {\mathcal {M}}_{n}(\mathbf {R} )\left[\lambda \right]}$。^[2]:232前者表示所有以多項式為係數的n階方塊矩陣的集合，後者表示所有n階方塊矩陣為係數的多項式的集合。可以驗證兩者是同構的。

例子

所有的數值矩陣都是多項式矩陣，因為可以將每個元素看成一個零多項式。設係數環為實數域，以下是一個3階多項式矩陣：

${\displaystyle P={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.}$

特徵矩陣是多項式矩陣的一個例子。設有n階數值矩陣A，則特徵矩陣實際上是一次多項式矩陣：${\displaystyle P_{A}(\lambda )=\lambda \mathbf {I} _{n}-A}$。而特徵矩陣的行列式${\displaystyle \det \left(\lambda \mathbf {I} _{n}-A\right)}$就是數值矩陣A的特徵多項式。

性質

由於多項式代數和矩陣代數的結構特性，環${\displaystyle \mathbf {R} }$上的所有n階多項式矩陣也構成一個代數。兩個n階多項式矩陣可以互相加減、相乘，並且滿足加法交換律和乘法分配律（不滿足乘法交換律）。用與數值矩陣相同的方式可以定義多項式矩陣的初等變換、相似關係、等價關係（也稱為相抵）、秩以及行列式^[1]:121。

如果係數環是域，那麼可以證明，所有的多項式矩陣都可以對角化。任何一個秩為r ≤ n的多項式矩陣，都可以相抵於一個對角多項式矩陣：

${\displaystyle a\operatorname {diag} (d_{1}(\lambda ),d_{2}(\lambda ),\cdots ,d_{r}(\lambda ),0,\cdots ,0)}$

其中的每個非零的對角元素${\displaystyle d_{i}(\lambda )}$都是首一多項式，並且整除下一個對角元素${\displaystyle d_{i+1}(\lambda )}$。這種形式稱為多項式矩陣的史密斯標準型（Smith normal form），所有的${\displaystyle d_{i}(\lambda )}$被稱為原多項式矩陣的不變因子^[1]:122。

如果將n階多項式矩陣看成以n階方塊矩陣為係數的多項式，可以通過將其中的不定元λ替換為一個n階方塊數值矩陣B，而得到一個n階數值矩陣。這種操作稱為多項式矩陣的矩陣替換。由於矩陣乘法不滿足交換律，所以替換分為左替換和右替換^[2]:233：

左替換：將${\displaystyle \sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}}$ 替換為 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{d}B^{k}\cdot A(k),}$ 也記作${\displaystyle P_{l}^{A}(B),}$

右替換：將${\displaystyle \sum _{k=0}^{d}A(k)\lambda ^{k}}$ 替換為 ${\displaystyle \sum _{k=0}^{d}A(k)\cdot B^{k},}$ 也記作${\displaystyle P_{r}^{A}(B).}$

如果係數環是域，那麼多項式矩陣之間可以做帶餘除法：如果${\displaystyle A(\lambda )}$和${\displaystyle B(\lambda )}$都是多項式矩陣，其中${\displaystyle B(\lambda )\neq 0}$，那麼唯一存在多項式矩陣${\displaystyle Q(\lambda )}$和${\displaystyle R(\lambda )}$，滿足

1. ${\displaystyle A(\lambda )=B(\lambda )Q(\lambda )+R(\lambda ),}$
2. ${\displaystyle R(\lambda )}$作為多項式的次數嚴格小於${\displaystyle B(\lambda )}$，或者為零。

參見

• 特徵多項式
• 不變因子
• 初等因子

參考來源

1. 方保鎔, 周繼東, 李醫民. 矩阵论. 北京: 清華大學出版社. 2004. ISBN 9787302092087.
2. K. B. Datta. Matrix and Linear Algebra. PHI Learning Pvt. Ltd. 2004. ISBN 9788120306363 （英語）.