歐拉公式

歐拉公式（英語：Euler's formula，又稱尤拉公式）是複分析領域的公式，它將三角函數與複指數函數關聯起來，因其提出者萊昂哈德·歐拉而得名。歐拉公式提出，對任意實數 ${\displaystyle x}$，都存在

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

此條目介紹的是複分析中的歐拉公式。關於代數拓撲或者多面體的歐拉公式，請見「歐拉示性數」。

提示：此條目頁的主題不是歐拉定理。

其中 ${\displaystyle e}$ 是自然對數的底數，${\displaystyle i}$ 是虛數單位，而 ${\displaystyle \cos }$ 和 ${\displaystyle \sin }$ 則是餘弦、正弦對應的三角函數，參數 ${\displaystyle x}$ 則以弧度為單位^[1]。這一複數指數函數有時還寫作 cis x （英語：cosine plus i sine，餘弦加i 乘以正弦）。由於該公式在 ${\displaystyle x}$ 為複數時仍然成立，所以也有人將這一更通用的版本稱為歐拉公式^[2]。

歐拉公式在數學、物理和工程領域應用廣泛。物理學家理查德·費曼將歐拉公式稱為：「我們的珍寶」和「數學中最非凡的公式」^[3]。

當 ${\displaystyle x=\pi }$ 時，歐拉公式變為${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$，即歐拉恆等式。

在複分析的應用

這公式可以說明當 ${\displaystyle x}$ 為實數時，函數 ${\displaystyle e^{ix}}$ 可在複數平面描述一單位圓。且 ${\displaystyle x}$ 為此平面上一條連至原點的線與正實軸的交角。先前一個在複數平面的複點只能用笛卡爾坐標系描述，歐拉公式在此提供複點至極坐標的變換

任何複數 ${\displaystyle z=x+yi}$ 皆可記為

${\displaystyle z=x+iy=|z|(\cos \phi +i\sin \phi )=|z|e^{i\phi }\,}$

${\displaystyle {\bar {z}}=x-iy=|z|(\cos \phi -i\sin \phi )=|z|e^{-i\phi }\,}$

在此

${\displaystyle x=\mathrm {Re} \{z\}\,}$為實部

${\displaystyle y=\mathrm {Im} \{z\}\,}$為虛部

${\displaystyle |z|={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}}$為 ${\displaystyle z}$ 的模

${\displaystyle \phi =\mathrm {atan2} {(y,x)}}$，其中 ${\displaystyle \mathrm {atan2} {(y,x)}={\begin{cases}\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad x>0\\\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y\geq 0,x<0\\-\pi +\arctan \left({\frac {y}{x}}\right)&\qquad y<0,x<0\\{\frac {\pi }{2}}&\qquad y>0,x=0\\-{\frac {\pi }{2}}&\qquad y<0,x=0\\{\text{undefined}}&\qquad y=0,x=0\end{cases}}}$

歷史

約翰·伯努利注意到有^[4]

${\displaystyle {\frac {1}{1+x^{2}}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{1-ix}}+{\frac {1}{1+ix}}\right).}$

並且由於

${\displaystyle \int {\frac {dx}{1+ax}}={\frac {1}{a}}\ln(1+ax)+C,}$

上述公式通過把自然對數和複數（虛數）聯繫起來，告訴我們關於複對數的一些資訊。然而伯努利並沒有計算出這個積分。

歐拉也知道上述方程，伯努利對歐拉的回應表明他還沒有完全理解複對數。歐拉指出複對數可以有無窮多個值。

與此同時，羅傑·柯特斯（英語：Roger Cotes）於 1714 年發現^[5]

${\displaystyle ix=\ln(\cos x+i\sin x).}$

由於三角函數的週期性，一個複數可以加上 2iπ 的不同倍數，而它的複對數可以保持不變。

1740年左右，歐拉把注意力從對數轉向指數函數，得到了以他命名的歐拉公式。歐拉公式通過比較指數的級數展開和三角函數得到（其實此證法存在問題，原因見驗證方法，但結論正確。），於1748年發表^[6][5]。

大約50年之後，卡斯帕爾·韋塞爾提出可以把複數視做複數平面中的點。

形式

參見：歐拉恆等式

對於任意實數${\displaystyle x\,}$，以下等式恆成立：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

由此也可以推導出

${\displaystyle \sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}}}$及${\displaystyle \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}}$。

當${\displaystyle x=\pi \,}$時，歐拉公式的特殊形式為

${\displaystyle {{{e}^{{i}\,{\pi }}}+{1}}=0}$。

證明

首先，在複數域上對${\displaystyle e^{x}\,}$進行定義：

對於${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} ,c=a+ib\in \mathbb {C} }$，規定${\displaystyle e^{c}=\lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {c}{n}})^{n}}$。

對複數的極坐標表示${\displaystyle w=u+iv=r(\cos \theta +i\sin \theta )}$，有：

${\displaystyle r={\sqrt {u^{2}+v^{2}}}\in \mathbb {R} ,\theta =\arctan({\frac {v}{u}})\in \mathbb {R} }$

且根據狄默夫公式，${\displaystyle w^{n}=(u+iv)^{n}=r^{n}(\cos n\theta +i\sin n\theta )}$

從而有：

${\displaystyle (1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=[(1+{\frac {a}{n}})+i{\frac {b}{n}}]^{n}=r_{n}(\cos \theta _{n}+i\sin \theta _{n})}$

假設${\displaystyle n>|a|}$，則：

${\displaystyle r_{n}=[(1+{\frac {a}{n}})^{2}+({\frac {b}{n}})^{2}]^{\frac {n}{2}},\theta _{n}=n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}}}$

（由於包含n在冪，所以要ln）從而有：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\ln r_{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}\ln(1+{\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }[{\frac {n}{2}}({\frac {2a}{n}}+{\frac {a^{2}+b^{2}}{n^{2}}})]\\&=a\\\end{aligned}}}$

這一步驟用到 ${\displaystyle \ln(1+x)\approx x}$（墨卡托級數）

即：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }r_{n}=\lim _{n\rightarrow \infty }e^{\ln r_{n}}=e^{a}}$

又有(arctan x 約等於x 於0附近）：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim _{n\rightarrow \infty }\theta _{n}&=\lim _{n\rightarrow \infty }(n\arctan {\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=\lim _{n\rightarrow \infty }(n{\frac {\frac {b}{n}}{1+{\frac {a}{n}}}})\\&=b\\\end{aligned}}}$

從而可以證明：

${\displaystyle \lim _{n\rightarrow \infty }(1+{\frac {a+bi}{n}})^{n}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$

即：

${\displaystyle e^{a+ib}=e^{a}(\cos b+i\sin b)}$

令${\displaystyle a=0}$，可得歐拉公式。

證畢。^[7]

驗證方法

方法一：泰勒級數

把函數${\displaystyle e^{x}\,}$、${\displaystyle \cos x\,}$和${\displaystyle \sin x\,}$寫成泰勒級數形式：

${\displaystyle e^{x}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$

${\displaystyle \cos x=1-{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{4}}{4!}}-{\frac {x^{6}}{6!}}+\cdots }$

${\displaystyle \sin x=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots }$

將${\displaystyle x=iz\,}$代入${\displaystyle e^{x}\,}$可得：

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{iz}&=1+iz+{\frac {(iz)^{2}}{2!}}+{\frac {(iz)^{3}}{3!}}+{\frac {(iz)^{4}}{4!}}+{\frac {(iz)^{5}}{5!}}+{\frac {(iz)^{6}}{6!}}+{\frac {(iz)^{7}}{7!}}+{\frac {(iz)^{8}}{8!}}+\cdots \\&=1+iz-{\frac {z^{2}}{2!}}-{\frac {iz^{3}}{3!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}+{\frac {iz^{5}}{5!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}-{\frac {iz^{7}}{7!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}+\cdots \\&=\left(1-{\frac {z^{2}}{2!}}+{\frac {z^{4}}{4!}}-{\frac {z^{6}}{6!}}+{\frac {z^{8}}{8!}}-\cdots \right)+i\left(z-{\frac {z^{3}}{3!}}+{\frac {z^{5}}{5!}}-{\frac {z^{7}}{7!}}+\cdots \right)\\&=\cos z+i\sin z\end{aligned}}}$

方法二：求導法

對於所有${\displaystyle x\in I}$，定義函數${\displaystyle f(x)={\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}}$

由於${\displaystyle e^{ix}\cdot e^{-ix}=e^{0}=1}$

可知${\displaystyle e^{ix}\,}$不可能為0，因此以上定義成立。

${\displaystyle f(x)\,}$之導數為：

${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&={\frac {(-\sin x+i\cos x)\cdot e^{ix}-(\cos x+i\sin x)\cdot i\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}-i^{2}\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&={\frac {-\sin x\cdot e^{ix}+\sin x\cdot e^{ix}}{(e^{ix})^{2}}}\\&=0\end{aligned}}}$

設${\displaystyle [a,b]\in I}$和${\displaystyle c\in (a,b)}$

${\displaystyle f'(c)={\frac {f(b)-f(a)}{b-a}}.}$（拉格朗日中值定理）

${\displaystyle \because f'(x)=0}$

${\displaystyle \therefore f'(c)=0}$

${\displaystyle f(a)=f(b)}$

因此${\displaystyle f(x)\,}$必是常數函數。

${\displaystyle f(x)=f(0)}$

${\displaystyle }$

${\displaystyle {\frac {\cos x+i\sin x}{e^{ix}}}={\frac {\cos 0+i\sin 0}{e^{0}}}=1}$

重新整理，即可得到：

${\displaystyle e^{ix}=\cos x+i\sin x}$

方法三：微積分

找出一個原函數${\displaystyle y(x)}$，使得${\displaystyle {\frac {dy}{dx}}=iy}$及${\displaystyle y(0)=1}$。

假設 ${\displaystyle y(x)=e^{ix}}$，有：

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}e^{ix}=ie^{ix}=iy}$

假設 ${\displaystyle y(x)=i\sin x+\cos x}$，有：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {d}{dx}}(\cos x+i\sin x)&=-\sin x+i\cos x\\&=i(i\sin x+\cos x)\\&=iy\end{aligned}}}$

使用積分法，可得${\displaystyle iy}$的原函數是以上兩個函數分別與任意實數的和，分別記為：

${\displaystyle y_{1}(x)=e^{ix}+C_{1}}$

${\displaystyle y_{2}(x)=\cos x+i\sin x+C_{2}}$

其中，${\displaystyle \mathbb {C} _{1}}$和:${\displaystyle \mathbb {C} _{2}}$是任意實數。

又${\displaystyle x=0}$時，${\displaystyle y(0)=1}$，觀察到：

${\displaystyle y_{1}(0)=e^{i0}+C_{1}=e^{0}+C_{1}=1+C_{1}}$

${\displaystyle y_{2}(0)=\cos 0+i\sin 0+C_{2}=1+i(0)+C_{2}=1+C_{2}}$

所以${\displaystyle C_{1}=C_{2}=0}$，可以得出：

${\displaystyle {\begin{aligned}y(x)&=e^{ix}=\cos x+i\sin x\end{aligned}}}$

cis函數

主條目：cis函數

在複分析領域，歐拉公式亦可以以函數的形式表示

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =\cos \theta +i\sin \theta }$

${\displaystyle \operatorname {cis} \theta =e^{i\theta }}$

並且一般定義域為${\displaystyle \theta \in \mathbb {R} \,}$，值域為${\displaystyle \theta \in \mathbb {C} \,}$（複數平面上的所有單位向量）。

當一複數的模為1，其反函數就是輻角（arg函數）。

當${\displaystyle \theta }$值為複數時，cis函數仍然是有效的，所以有些人可利用cis函數將歐拉公式推廣到更複雜的版本。^[2]

檢驗和角公式

由於${\displaystyle e^{i\alpha }=\cos \alpha +i\sin \alpha }$且${\displaystyle e^{i\beta }=\cos \beta +i\sin \beta }$，則有

${\displaystyle {\begin{aligned}e^{i(\alpha +\beta )}&=\cos(\alpha +\beta )+i\sin(\alpha +\beta )=e^{i\alpha +i\beta }\\&=e^{i\alpha }\times e^{i\beta }\\&=(\cos \alpha +i\sin \alpha )\times (\cos \beta +i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \times \cos \beta +i\sin \alpha \times i\sin \beta )+(i\sin \alpha \times \cos \beta +\cos \alpha \times i\sin \beta )\\&=(\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta )+i(\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta )\\\end{aligned}}}$

實部等於實部，虛部等於虛部，因此

${\displaystyle \cos(\alpha +\beta )=\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }$

${\displaystyle \sin(\alpha +\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta }$

參見

• cis函數
• 歐拉恆等式

參考資料

1. Eulers Formula. 密蘇里科技大學. [2021-06-13]. （原始內容存檔於2020-02-21）.
2. Moskowitz, Martin A. A Course in Complex Analysis in One Variable. World Scientific Publishing Co. 2002: 7. ISBN 981-02-4780-X.
3. Feynman, Richard P. The Feynman Lectures on Physics, vol. I. Addison-Wesley. 1977: 22-10. ISBN 0-201-02010-6.
4. Bernoulli, Johann. Solution d'un problème concernant le calcul intégral, avec quelques abrégés par rapport à ce calcul [Solution of a problem in integral calculus with some notes relating to this calculation]. Mémoires de l'Académie Royale des Sciences de Paris. 1702, 1702: 197–289.
5. John Stillwell. Mathematics and Its History. Springer. 2002 [2018-07-17]. （原始內容存檔於2019-06-04）.
6. Leonard Euler (1748) Chapter 8: On transcending quantities arising from the circle （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） of Introduction to the Analysis of the Infinite, page 214, section 138 (translation by Ian Bruce, pdf link from 17 century maths).
7. 張築生. 数学分析新讲（第一册）第七章 4.实变复值函数. 北京大學出版社. 1990.