基本子結構

在模型論，給定在同一個語言 ${\displaystyle L}$ 中的兩個結構 ${\displaystyle M}$ 和 ${\displaystyle N}$，我們稱 ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle N}$ 的基本子結構（英語：elementary substructure）^{[註 1]}如果

1. ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle N}$ 的子結構，且

2. 對於所有有限元組 ${\displaystyle a\in M}$，對於所有語言 ${\displaystyle L}$ 的公式 ${\displaystyle \varphi (x)}$，我們有 ${\displaystyle M\models \varphi (a)}$ 若且唯若 ${\displaystyle N\models \varphi (a)}$。

我們稱 ${\displaystyle N}$ 是 ${\displaystyle M}$ 的基本擴展若且唯若 ${\displaystyle M}$ 是 ${\displaystyle N}$ 的基本子結構。

等價條件

有時對第二個條件使用一個等價的陳述。我們可以通過對所有 ${\displaystyle m\in M}$ 增加一個常量符號 ${\displaystyle c_{m}\ }$ 來擴展 ${\displaystyle L}$ 為一個新語言 ${\displaystyle L(M)}$。那麼 ${\displaystyle M}$ 和 ${\displaystyle N}$ 是解釋每個 ${\displaystyle c_{m}\ }$ 為 ${\displaystyle m}$ 的 ${\displaystyle L(M)}$ 的結構。

設 ${\displaystyle \mathrm {Th} _{L(M)}(M)\ }$ 和 ${\displaystyle \mathrm {Th} _{L(M)}(N)\ }$ 分別是在 ${\displaystyle M}$ 和 ${\displaystyle N}$ 中為真的 ${\displaystyle L(M)}$-句子的集合(稱為它們的「基本圖」)。那麼上述條件 (2) 等價於陳述

${\displaystyle \mathrm {Th} _{L(M)}(M)=\mathrm {Th} _{L(M)}(N)\ }$.

塔斯基-沃特測試是給定一對 ${\displaystyle M\subset N}$，確定 ${\displaystyle M}$ 是否是 ${\displaystyle N}$ 的基本子結構的非常有用的必要和充分條件。

註釋

1. 有時表示為 ${\displaystyle M<N\ }$