拿破崙問題

拿破崙問題（Napoleon's problem）是著名的圓規作圖問題，原題如下：

給定一圓和其圓心，只用圓規將此圓四等分。（此圓指的是圓周而不是圓面積）

此題目是由意大利數學家洛倫佐·馬斯凱羅尼向拿破崙·波拿巴提出的問題，但我們不知道他是否有解出這個問題。此題目後來又更加進化，變成只給定一圓，只用圓規將此圓四等分，在這種情況必須先用圓規作圖找到圓心。以上兩種都被稱為拿破崙問題。

1672年，喬治·莫爾（英語：Georg Mohr）證明只要使用圓規就可以解決所有的尺規作圖^[1]，但此證明直到1928年才被發現。^[2]

找出圓心

${\displaystyle C}$→深藍、${\displaystyle C_{1}}$→紅、${\displaystyle C_{2}}$→綠、${\displaystyle C_{3}}$→紫、${\displaystyle C_{4}}$→藍

作法

1. 在已知的圓${\displaystyle C}$上找任意一點 A，以任意半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$（必須和圓${\displaystyle C}$有交點，長度最好差不多有半圓那麼長，方便第三步作圖），交圓${\displaystyle C}$於 B'、B 兩點。
2. 分別以B'、B為圓心， ${\displaystyle {\overline {B'A}}}$ 、${\displaystyle {\overline {BA}}}$ 為半徑，畫兩條弧 ${\displaystyle {\color {Green}C_{2}}}$，兩弧線相交於 A 點和 C 點。
3. 再以 C 點為圓心、 ${\displaystyle {\overline {CA}}}$為半徑，畫弧 ${\displaystyle {\color {RawSienna}C_{3}}}$ ，交弧${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$於 D'、D兩點。
4. 以D'、D為圓心， ${\displaystyle {\overline {D'A}}}$ 、${\displaystyle {\overline {DA}}}$ 為半徑，畫兩條弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}$ ，兩弧線相交於A點和O點。（O點即圓${\displaystyle C}$的圓心）

證明

設圓${\displaystyle C_{1}}$的半徑為${\displaystyle a}$，圓${\displaystyle C_{3}}$的半徑為${\displaystyle b}$，我們知道：

${\displaystyle a={\overline {AB}}={\overline {BC}}={\overline {AD}}={\overline {OD}}}$

${\displaystyle b={\overline {AC}}={\overline {DC}}}$

因為${\displaystyle \triangle ADC\thicksim \triangle AOD}$，所以${\displaystyle {\overline {AO}}={\frac {a^{2}}{b}}}$

由於${\displaystyle {\overline {AO}}:{\overline {AB}}=a:b={\overline {AB}}:{\overline {AC}}}$，可以得出${\displaystyle \triangle ABC\thicksim \triangle AOB}$

根據對稱性，${\displaystyle {\overline {AO}}}$通過圓心，又${\displaystyle {\overline {AO}}={\overline {OB}}}$，所以${\displaystyle O}$是圓${\displaystyle C}$的圓心。

四等分圓

作法

由前面我們已經知道圓心的位置

1. 在已知的圓上找任意一點 ${\displaystyle X}$，以${\displaystyle {\overline {XO}}}$為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{1}}}$，交圓於 ${\displaystyle V}$、${\displaystyle Y}$ 兩點。
2. 以 ${\displaystyle Y}$ 為圓心，${\displaystyle {\overline {YO}}}$為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {Red}C_{2}}}$，交圓於 ${\displaystyle Z}$ 點（和 ${\displaystyle X}$ 點）。
3. （繼續分別以 ${\displaystyle Z}$、${\displaystyle V}$ 為圓心，${\displaystyle {\overline {ZO}}}$、${\displaystyle {\overline {VO}}}$ 為半徑畫弧，即可將圓六等分，）${\displaystyle V}$、${\displaystyle X}$、${\displaystyle Y}$、${\displaystyle Z}$ 為四個六等分點（如圖）。
4. 以 ${\displaystyle V}$ 為圓心，${\displaystyle {\overline {VY}}}$為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{3}}}$；以 ${\displaystyle Z}$ 為圓心，${\displaystyle {\overline {ZX}}}$為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {blue}C_{4}}}$，兩弧交於 ${\displaystyle T}$ 點。
5. 以 ${\displaystyle Z}$ 為圓心，取${\displaystyle {\overline {OT}}}$的長度 ${\displaystyle {\color {Green}D}}$ 為半徑畫弧 ${\displaystyle {\color {Green}C_{5}}}$，交圓於 ${\displaystyle U}$、${\displaystyle W}$ 兩點。
6. ${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$、${\displaystyle Z}$、${\displaystyle U}$ 四點將圓四等分。

證明

設圓的半徑為${\displaystyle a}$，容易得出${\displaystyle {\overline {OV}}}$、${\displaystyle {\overline {OX}}}$、${\displaystyle {\overline {OY}}}$、${\displaystyle {\overline {OZ}}}$、${\displaystyle {\overline {VX}}}$、${\displaystyle {\overline {XY}}}$、${\displaystyle {\overline {YZ}}}$的長度都是${\displaystyle a}$，可以得出${\displaystyle {\overline {VY}}={\overline {VT}}={\sqrt {3}}a}$，根據畢氏定理可以得出${\displaystyle {\overline {OT}}={\sqrt {{\overline {VT}}^{2}-{\overline {VO}}^{2}}}={\sqrt {2}}a}$，因此${\displaystyle V}$、${\displaystyle W}$、${\displaystyle Z}$、${\displaystyle U}$四點將圓四等分。

參見

• 拿破崙定理
• 尺規作圖
• 圓規作圖

註解

1. Georg Mohr, Euclides Danicus (Amsterdam: Jacob van Velsen, 1672).
2. Schogt, J. H. (1938) "Om Georg Mohr's Euclides Danicus," Matematisk Tidsskrift A , pages 34-36.

參考資料

• Napoleon's Problem （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）MathWorld
• 拿破崙分圓