後繼序數

定義序數時，後繼函數${\displaystyle S}$是取得下一個序數的數學工具。如果使用馮·諾伊曼序數（用於集合論的標準序數）表示，對於任何一個序數我們可以得到：

${\displaystyle S(\alpha )=\alpha \cup \{\alpha \}}$

因為在序數上的排序${\displaystyle \alpha >\beta }$若且唯若${\displaystyle \alpha \in \beta }$，立即得出沒有序數在${\displaystyle \alpha }$和${\displaystyle S(\alpha )}$之間，而${\displaystyle \alpha <S(\alpha )}$也是明顯的。是某個序數${\displaystyle \beta }$的${\displaystyle S(\beta )}$的序數叫做後繼序數。不是其它哪個序數的後繼的序數，我們把它們叫做極限序數。嚴格地按照超限歸納法，我們可以用這樣的運算定義序數如下：

${\displaystyle \alpha +0=\alpha }$

${\displaystyle \alpha +S(\beta )=S(\alpha +\beta )}$

對於極限序數${\displaystyle \lambda }$：

${\displaystyle \alpha +\lambda =\bigcup _{\beta <\lambda }(\alpha +\beta )}$

在特殊情況下，${\displaystyle S(\alpha )=\alpha +1}$，乘和冪的定義也是一樣的，請參見極限序數。