反距離加權 （英語：inverse distance weighting ，IDW ）是一種在有已知的離散數據點的情形下進行多元插值 確定性算法 。賦給未知點的值是用已知點的值的加權平均數 計算得出的。該算法也可在空間自相關分析（例如莫蘭指數 ）中用於構建空間權重矩陣。[ 1]
該方法的名稱來自其加權的方式：未知點到每個已知點的距離的倒數。
對於給定的離散數據點，我們希望以一個函數
u
{\displaystyle u}
u
(
x
)
:
x
→
R
,
x
∈
D
⊂
R
n
,
{\displaystyle u(x):x\to \mathbb {R} ,\quad x\in \mathbf {D} \subset \mathbb {R} ^{n},}
其中
D
{\displaystyle \mathbf {D} }
N
{\displaystyle N}
元組 列表：
[
(
x
1
,
u
1
)
,
(
x
2
,
u
2
)
,
.
.
.
,
(
x
N
,
u
N
)
]
.
{\displaystyle [(x_{1},u_{1}),(x_{2},u_{2}),...,(x_{N},u_{N})].}
該函數應當是「平滑的」（連續且一次可微），確定的（
u
(
x
i
)
=
u
i
{\displaystyle u(x_{i})=u_{i}}
並行計算 ）。
自1965年起，在哈佛計算機圖形和空間分析實驗室，各專業的科學家匯聚一堂，重新思考現在稱作「地理信息系統 」的各種問題。[ 2]
實驗室工作的推動者霍華德·費舍爾（Howard Fisher）構思了一種改良的計算機繪圖程序：SYMAP，其設計伊始，費舍爾就希望對插值進行改進。他向哈佛大學新生展示了SYMAP的進展，而後許多新生參與了實驗室活動。一位大一新生唐納德·謝潑德（Donald Shepard）決定對SYMAP中的插值法進行大改，隨後發表了他1968年的著名論文。[ 3]
謝潑德的算法也受到William Warntz和實驗室其他從事空間分析工作的人的理論方法的影響。他用距離的指數進行了許多實驗，決定更接近重力模型（-2的指數）。謝潑德不僅實現了基本的反距離加權，還允許障礙（包括可滲透的和絕對的）插值。
其他研究機構此時也在研究插值，特別是堪薩斯大學 及其SURFACE II計劃。但SYMAP的功能仍是最先進的，儘管是由本科生 編寫的。
來自表面上的散點在不同冪參數p 下的謝潑德插值
z
=
exp
(
−
x
2
−
y
2
)
{\displaystyle z=\exp(-x^{2}-y^{2})}
給定一組樣本點
{
x
i
,
u
i
|
for
x
i
∈
R
n
,
u
i
∈
R
}
i
=
1
N
{\displaystyle \{\mathbf {x} _{i},u_{i}|{\text{for }}\mathbf {x} _{i}\in \mathbb {R} ^{n},u_{i}\in \mathbb {R} \}_{i=1}^{N}}
u
(
x
)
:
R
n
→
R
{\displaystyle u(\mathbf {x} ):\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }
u
(
x
)
=
{
∑
i
=
1
N
w
i
(
x
)
u
i
∑
i
=
1
N
w
i
(
x
)
,
if
d
(
x
,
x
i
)
≠
0
for all
i
,
u
i
,
if
d
(
x
,
x
i
)
=
0
for some
i
,
{\displaystyle u(\mathbf {x} )={\begin{cases}{\dfrac {\sum _{i=1}^{N}{w_{i}(\mathbf {x} )u_{i}}}{\sum _{i=1}^{N}{w_{i}(\mathbf {x} )}}},&{\text{if }}d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})\neq 0{\text{ for all }}i,\\u_{i},&{\text{if }}d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})=0{\text{ for some }}i,\end{cases}}}
其中
w
i
(
x
)
=
1
d
(
x
,
x
i
)
p
{\displaystyle w_{i}(\mathbf {x} )={\frac {1}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})^{p}}}}
這是一個簡單的反距離加權函數，其定義由謝潑德提出，[ 3] x 表示一個被插值點（未知點），x i
d
{\displaystyle d}
x i x 的給定距離（度規 算符），N 是插值中使用的已知點的總數，並且
p
{\displaystyle p}
其中，權重隨着與已知點的距離的增加而減小。
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
沃羅諾伊圖 ），每一個多邊形內的數值幾乎為恆定值。對於二維面，冪參數
p
≤
2
{\displaystyle p\leq 2}
ρ
{\displaystyle \rho }
r
0
{\displaystyle r_{0}}
R
{\displaystyle R}
∑
j
w
j
≈
∫
r
0
R
2
π
r
ρ
d
r
r
p
=
2
π
ρ
∫
r
0
R
r
1
−
p
d
r
,
{\displaystyle \sum _{j}w_{j}\approx \int _{r_{0}}^{R}{\frac {2\pi r\rho \,dr}{r^{p}}}=2\pi \rho \int _{r_{0}}^{R}r^{1-p}\,dr,}
其在
R
→
∞
{\displaystyle R\rightarrow \infty }
p
≤
2
{\displaystyle p\leq 2}
M 維，同樣的結論適用於
p
≤
M
{\displaystyle p\leq M}
p
{\displaystyle p}
謝潑德法是最小化與插值點{x , u }的元組和插值點{x i ui }的i 元組 之間的偏差度量相關的函數的結果，定義為：
ϕ
(
x
,
u
)
=
(
∑
i
=
0
N
(
u
−
u
i
)
2
d
(
x
,
x
i
)
p
)
1
p
,
{\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,u)=\left(\sum _{i=0}^{N}{\frac {(u-u_{i})^{2}}{d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{i})^{p}}}\right)^{\frac {1}{p}},}
從最小化條件導出：
∂
ϕ
(
x
,
u
)
∂
u
=
0.
{\displaystyle {\frac {\partial \phi (\mathbf {x} ,u)}{\partial u}}=0.}
該方法容易擴展到其他維 數的空間，它實際上是將拉格朗日插值法 推廣到多維空間。為三元插值設計的修改版算法由Robert J. Renka提出，Netlib的toms庫中的算法661提供該算法。
Shepard法在一個維度下的插值，基於4個樣本數據點，p = 2
謝潑德法的另一個修改版是僅使用半徑R 範圍內的最近鄰（而不是完整樣本）來計算插值。在這種情況下，權重略有修改：
w
k
(
x
)
=
(
max
(
0
,
R
−
d
(
x
,
x
k
)
)
R
d
(
x
,
x
k
)
)
2
.
{\displaystyle w_{k}(\mathbf {x} )=\left({\frac {\max(0,R-d(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k}))}{Rd(\mathbf {x} ,\mathbf {x} _{k})}}\right)^{2}.}
當與快速空間搜索結構（如k-d樹 ）結合使用時，它即為適用於大尺度問題的高效N log N 插值方法。
Shepard, Donald. A two-dimensional interpolation function for irregularly-spaced data. Proceedings of the 1968 ACM National Conference: 517–524. 1968. doi:10.1145/800186.810616 
![{\displaystyle [(x_{1},u_{1}),(x_{2},u_{2}),...,(x_{N},u_{N})].}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/639e496b90fb413c342ed159aad1f76d41278333)
