區間

區間（英語：interval）在數學上是指某個範圍的數的集合，或者更一般地是指某個範圍的預序集元素的集合，一般以集合形式表示。

此條目介紹的是數學上的區間概念。關於鐵路運輸的區間概念，請見「閉塞 (鐵路)」。

在圖中的數軸上，所有大於x和小於x+a的數組成了一個開區間。

簡說

在初等代數，傳統上區間指一個集，包含在某兩個特定實數之間的所有實數，亦可能包含該兩個實數（或其中之一）。區間表示法是表示一個變量在某個區間內的方式。通用的區間表示法中，圓括號表示排除，方括號表示包括。例如，開區間${\displaystyle (10,20)}$表示所有在${\displaystyle 10}$和${\displaystyle 20}$之間的實數，但不包括${\displaystyle 10}$或${\displaystyle 20}$。另一方面，閉區間${\displaystyle [10,20]}$表示所有在${\displaystyle 10}$和${\displaystyle 20}$之間的實數，以及${\displaystyle 10}$和${\displaystyle 20}$。^[1]

定義

實區間

在賦予通常序的實數集${\displaystyle \mathbb {R} }$里，以${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$為端點的開區間和閉區間分別是：

${\displaystyle (a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x\leq b\}}$

類似地，以${\displaystyle a,b}$為端點的兩個半開區間定義為：

${\displaystyle (a,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon a<x\leq b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon a\leq x<b\}}$

在一些上下文中，兩個端點要求滿足${\displaystyle a<b}$。這排除了${\displaystyle a=b}$從而區間或是單元素集合或是空集的情形，也排除了${\displaystyle a>b}$從而區間為空集的情形。

只有左端點${\displaystyle a}$的開區間和半開區間分別如下。

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x>a\},}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in \mathbb {R} \colon x\geq a\},}$

只有右端點${\displaystyle b}$的開區間和半開區間分別如下。

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in \mathbb {R} \colon x<b\},}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in \mathbb {R} \colon x\leq b\},}$

整個實數線等於沒有端點的區間：

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=\mathbb {R} }$

偏序集或預序集中的區間

區間的概念在任何偏序集或者更一般地，在任何預序集中有定義。對於預序集${\displaystyle (X,\lesssim )}$和兩個元素${\displaystyle a,b\in X,}$，我們可以類似定義^{[2]:11, Definition 11}

${\displaystyle (a,b)=\{x\in X\colon a<x<b\}}$

${\displaystyle [a,b]=\{x\in X\colon a\lesssim x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (a,b]=\{x\in X\colon a<x\lesssim b\}}$

${\displaystyle [a,b)=\{x\in X\colon a\lesssim x<b\}}$

${\displaystyle (a,\infty )=\{x\in X\colon a<x\}}$

${\displaystyle [a,\infty )=\{x\in X\colon a\lesssim x\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b)=\{x\in X\colon x<b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,b]=\{x\in X\colon x\lesssim b\}}$

${\displaystyle (-\infty ,\infty )=X}$

其中${\displaystyle x<y}$意思是${\displaystyle x\lesssim y\not \lesssim x}$。其實，只有一個端點或者沒有端點的區間等同於更大的預序集

${\displaystyle {\bar {X}}=X\sqcup \{-\infty ,\infty \}}$

${\displaystyle -\infty <x<\infty \qquad (\forall x\in X)}$

上具有兩個端點的區間，使得它是${\displaystyle X}$的子集。當${\displaystyle X=\mathbb {R} }$時，可以取${\displaystyle {\bar {\mathbb {R} }}}$為擴展實數線。

序凸集和序凸分支

預序集${\displaystyle (X,\lesssim )}$的子集${\displaystyle A\subseteq X}$是序凸集，如果對於任意${\displaystyle x,y\in A}$以及任意${\displaystyle x\lesssim z\lesssim y}$有${\displaystyle z\in A}$。與實區間的情形不同，預序集的序凸集不一定是區間。例如，在有理數的全序集${\displaystyle (\mathbb {Q} ,\leq )}$中，

${\displaystyle \mathbb {Q} =\{x\in \mathbb {Q} \colon x^{2}<2\}}$

是序凸集，但它不是${\displaystyle \mathbb {Q} }$的區間，這是因為2的平方根在${\displaystyle \mathbb {Q} }$中是不存在的。

設${\displaystyle (X,\lesssim )}$是一個預序集，且${\displaystyle Y\subseteq X}$。包含在${\displaystyle Y}$中的${\displaystyle X}$的序凸集關於包含關係構成偏序集。這個偏序集的極大元叫做${\displaystyle Y}$的序凸分支。^{[3]:Definition 5.1}由佐恩引理，包含在${\displaystyle Y}$中的${\displaystyle X}$的任意序凸集包含於${\displaystyle Y}$的一個序凸分支，然而這種序凸分支不一定是唯一的。在全序集中，這樣的序凸分支確實唯一。也就是說，全序集的子集的序凸分支構成分劃。

區間算術

區間算術又稱區間數學、區間分析、區間計算，在1950、60年代引進以作數值分析上計算捨去誤差的工具。

${\displaystyle T\times S=\{x\mid {}}$屬於${\displaystyle T}$的某些${\displaystyle y}$，及屬於${\displaystyle S}$的某些${\displaystyle z}$，使得${\displaystyle x=y\times z\}}$

區間算術的基本運算是，對於實數線上的子集${\displaystyle [a,b]}$及${\displaystyle [c,d]}$：

${\displaystyle [a,b]+[c,d]=[a+c,b+d]}$

${\displaystyle [a,b]-[c,d]=[a-d,b-c]}$

${\displaystyle [a,b]\times [c,d]=[\min\{ac,ad,bc,bd\},\max\{ac,ad,bc,bd\}]}$

${\displaystyle {\frac {[a,b]}{[c,d]}}=\left[\min \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\},\max \left\{{\frac {a}{c}},{\frac {a}{d}},{\frac {b}{c}},{\frac {b}{d}}\right\}\right]}$

被一個包含零的區間除，在基礎區間算術上無定義。

加法和乘法符合交換律、結合律和子分配律：集${\displaystyle X(Y+Z)}$是${\displaystyle XY+XZ}$的子集。

另一種寫法

在法國及其他一些歐洲國家，用${\displaystyle ][}$代替${\displaystyle ()}$來表示開區間，例如：

${\displaystyle \left]a,b\right[=\{x\mid a<x<b\}}$

${\displaystyle \left[a,b\right]=\{x\mid a\leq x\leq b\}}$

${\displaystyle \left[a,b\right[=\{x\mid a\leq x<b\}}$

${\displaystyle \left]a,b\right]=\{x\mid a<x\leq b\}}$

國際標準化組織編制的ISO 31-11也允許這種寫法^[4]。

另外，在小數點以逗號來表示的情況下，為免產生混淆，分隔兩數的逗號要用分號來代替，例如將${\displaystyle [1,2.3]}$寫成${\displaystyle [1;2,\!3]}$。若只把小數點寫成逗號，就會變成${\displaystyle [1,2,\!3]}$，此時不易判斷究竟是${\displaystyle 1.2}$與${\displaystyle 3}$之間，還是${\displaystyle 1}$與${\displaystyle 2.3}$之間的閉區間。

參考

1. Interval and segment - Encyclopedia of Mathematics. encyclopediaofmath.org. Springer & The European Mathematical Society. [2021-05-18]. （原始內容存檔於2014-12-26）.
2. Vind, Karl. Independence, additivity, uncertainty. Studies in Economic Theory 14. Berlin: Springer. 2003. ISBN 978-3-540-41683-8. Zbl 1080.91001. doi:10.1007/978-3-540-24757-9 （英語）.
3. Heath, R. W.; Lutzer, David J.; Zenor, P. L. Monotonically normal spaces. Transactions of the American Mathematical Society. 1973, 178: 481–493. ISSN 0002-9947. MR 0372826. Zbl 0269.54009. doi:10.2307/1996713 （英語）.
4. ISO 31-11:1992. ISO. [2021-05-18]. （原始內容存檔於2021-05-18） （英語）.