升交點黃經

升交點經度^[1] (longitude of ascending node)（符號是☊ 或 Ω）是用來具體描述天體在空間中軌道的軌道要素之一。它是由參考方向（經度原點 ）起始，在參考平面上量度至昇交點的角度^[2]。因參考平面不同而有升交點黃經或升交點赤經等區別。通常作為經度原點和參考平面的有：

• 在常用的地心坐標系下，通常以地球的赤道作為參考平面，春分點作為經度原點，此時，升交點經度被稱為升交點赤經，或縮寫為RAAN（right ascension of ascending node）。角度是從春分點向東量度（或是說由赤道北方看是逆時針方向）至升交點^[3][4]。
• 在日心軌道之下，黃道是參考平面，春分點作為經度原點。角度是從春分點向東量度（或是說由黃道北方看是逆時針方向）至升交點^[3]。此時的升交點經度特稱為升交點黃經。
• 在太陽系外的軌道，則在天球上對觀測者的基線方向上做一垂直的平面 （天球上的切面，稱為天空平面），這個參考平面的北方，就是指向天球北極的方向，以垂直投影的方法將原來的經線投影在參考平面上就可以得到。角度的測量以北方為起點向東測量 (對觀測者而言是逆時針方向)至交點的位置^{[5], pp. 40, 72, 137; [6], chap. 17.}。

在日心軌道上的升交點黃經

在聯星情況中，只有目視觀測是不可能知道哪個點是昇交點和哪個點是降交點。在這種情況下所紀錄的軌道參數只是交點的經度，Ω，其數值介於0至180度之間^{[6], chap. 17;[5], p. 72.}。

由狀態向量計算

在天體力學及太空動力學中，升交點經度 (longitude of ascending node) 可以從軌道狀態向量 [${\displaystyle \mathbf {r} ,\mathbf {v} }$] 計算如下：

${\displaystyle \mathbf {h} =\mathbf {r} \times \mathbf {v} }$

${\displaystyle \mathbf {r} }$: 為天體的位置向量

${\displaystyle \mathbf {v} }$: 為天體的速度向量

${\displaystyle \mathbf {h} }$: 為天體的角動量向量。

位置向量與速度向量構成軌道面，故其外積(角動量向量)在軌道面法線方向。

${\displaystyle \mathbf {n} =\mathbf {\hat {z}} \times \mathbf {h} }$

${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$: 為參考平面 Z 軸單位向量。此單位向量垂直於參考平面。為參考面的法線。

${\displaystyle \mathbf {n} }$: 為升交點向量。與升交點線 (line of ascending node) 平行。

因升交點線為軌道面與參考面的交線，故升交點向量與兩平面的法線(${\displaystyle \mathbf {h} }$及${\displaystyle \mathbf {\hat {z}} }$)都垂直。所以，可以由兩平面的法線的外積推算出其方向。而它與參考面的 X 軸的夾角，便是升交點經度。

${\displaystyle \cos \Omega ={\mathbf {n} \cdot \mathbf {\hat {x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\,\,\,}$ (${\displaystyle \mathbf {\hat {x}} }$: 為參考平面 X 軸單位向量);

${\displaystyle \Omega =\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}\geq 0);}$

${\displaystyle \Omega =2\pi -\arccos {{n_{x}} \over {\mathbf {\left|n\right|} }}\ \ (n_{y}<0).}$

此處，n=（n_x, n_y, n_z）是指向升交點的向量。參考平面是假設的xy-平面，經度原點的位置在+x-軸的方向。

對無傾斜軌道（軌道傾斜角為0度）就無須定義Ω。計算時依慣例設為0，也就是說指向昇交點的向量n在參考平面上的方向就是+x-軸。

參考資料

1. 天文学名词（定义版）. 科學出版社. 2001.
2. Parameters Describing Elliptical Orbits （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, web page, accessed May 17, 2007.
3. Orbital Elements and Astronomical Terms （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, Robert A. Egler, Dept. of Physics, North Carolina State University. Web page, accessed May 17, 2007.
4. Keplerian Elements Tutorial （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, amsat.org, accessed May 17, 2007.
5. The Binary Stars, R. G. Aitken, New York: Semi-Centennial Publications of the University of California, 1918.
6. Celestial Mechanics （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, J. B. Tatum, on line, accessed May 17, 2007.

相關條目

• 春分點
• 晝夜平分點
• 軌道交點