勞厄方程式

勞厄方程式，為德國科學家馬克斯·馮·勞厄於1912年所提出^[1]，勞厄方程式的三個等式，說明了入射光被晶格繞射的情形，簡化後可以得到布拉格定律。

勞厄方程

定義

考慮三個向量： ${\displaystyle {\overrightarrow {OA}}={\vec {a}}}$ 、 ${\displaystyle {\overrightarrow {OB}}={\vec {b}}}$ 、 ${\displaystyle {\overrightarrow {OC}}={\vec {c}}}$ ，並設 ${\displaystyle {\vec {\mathbf {S} _{o}}}}$及${\displaystyle {\vec {\mathbf {S} _{h}}}}$分別為入射方向與反射方向的方向單位向量。波分別被面 O 與 A 、 O 與 B 、 O 與 C 繞射(同相)將:

a . (S_h - S_o) = h λ

b . (S_h - S_o) = k λ

c . (S_h - S_o) = l λ

當這三個方程式同時成立，入射波將從(h/n, k/n, l/n)面反射。

這三個方程式可歸納成，當繞射產生時，r . (S_h/λ - S_o/λ)為整數且滿足:

r = u a + v b + w c (u, v, w 為整數)

即

(S_h/λ - S_o/λ) = h a* + k b* + l c*

上式說明OH = S_h/λ - S_o/λ為倒晶格向量，且 h, k, l 為整數，是為繞射產生的倒晶格模式。

意義

由繞射理論導出的${\displaystyle \Delta k=G}$ 。可以用勞厄方程給出。勞厄方程之所以有價值，是因為其在幾何描述上的優勢。 勞厄方程有一個簡單而清晰的幾何詮釋。第一個方程告訴我們， ${\displaystyle \Delta k}$將位於以a1為軸的某個圓錐上；第二個方程告訴我們： ${\displaystyle \Delta k}$也將位於以a2為軸的某個圓錐上，第三個方程也要求 ${\displaystyle \Delta k}$位於以a3為軸的某個圓錐上。 因此，反射的${\displaystyle \Delta k}$必須同時滿足這三個方程。這就表明，三個錐必須截交於一條公共的射線，這個條件非常苛刻，只有在非常巧合的情況下才能滿足。要得到這種特殊的「巧合」，除開純粹的偶然性以外，一般則需要對波長或者晶體取向進行連續的掃描、搜索。

相關

請參考P. P. Ewald, 1962, IUCr, 50 Years of X-ray Diffraction, Section 4, page 52.

• X光繞射

參考文獻

1. Eine quantitative Prüfung der Theorie für die Interferenz-Erscheinungen bei Röntgenstrahlen. Sitzungsberichte der Kgl. Bayer. Akad. der Wiss 363--373, reprinted in Ann。