偽黎曼流形

偽黎曼流形，也稱為半黎曼流形（英語：Pseudo-Riemannian manifold）^[1][2]，在微分幾何中是指一光滑流形，其上有一光滑、對稱、點點非退化的${\displaystyle (0,2)}$ 張量。此張量稱為偽黎曼度量或偽度量張量。

偽黎曼流形與黎曼流形的區別是它不需要正定（通常要求非退化）。因為每個正定形式都是非退化的，所以黎曼度量也是一個偽黎曼度量，亦即黎曼流形是偽黎曼流形的一種特例。

每一個非退化對稱，雙線性形式有一個固定的度量符號${\displaystyle (p,q)}$。這裏${\displaystyle p}$與${\displaystyle q}$記作正特徵值及負特徵值的個數。注意${\displaystyle p+q=n}$是流形的維數。黎曼流形就是以${\displaystyle (n,0)}$作為符號。

偽黎曼流形的符號${\displaystyle (p,1)}$稱為洛倫茲度量。擁有洛倫茲度量的流形都是洛倫茲流形。除黎曼流形外，洛倫茲流形是偽黎曼流形的最重要的子類。因為它常被用於廣義相對論。廣義相對論首要假設是時空可以轉為擁有${\displaystyle (3,1)}$符號的洛倫茲流形的模型。

和歐幾里得空間${\displaystyle \mathbf {R} ^{n}}$可以被認為是黎曼流形的模型一樣，,有平坦閔可夫斯基度量的閔可夫斯基空間(Minkowski space) ${\displaystyle \mathbf {R} ^{p,1}}$是洛倫茲流形的模型空間。特徵數為${\displaystyle (p,q)}$的偽黎曼流形的模型空間是有如下偽度量的${\displaystyle \mathbf {R} ^{p,q}}$:

${\displaystyle g=dx_{1}^{2}+\cdots +dx_{p}^{2}-dx_{p+1}^{2}-\cdots -dx_{p+q}^{2}}$

有些黎曼度量的基本定理可以推廣到偽黎曼的情形。例如黎曼幾何基本定理對偽黎曼流形也成立。這使得我們能夠在偽黎曼流形上能夠使用列維-奇維塔聯絡和相關的曲率張量。另一方面，黎曼幾何的很多定理在推廣到偽黎曼的情況下不成立。例如，並不是每個光滑流形都可以有一個給定符號的偽黎曼度量；因為有一些特殊的拓撲阻礙存在。

參考資料

1. Benn & Tucker (1987) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFBennTucker1987 (幫助), p. 172.
2. Bishop & Goldberg (1968) harvtxt模板錯誤: 無指向目標: CITEREFBishopGoldberg1968 (幫助), p. 208