勒洛三角形

勒洛三角形（英語：Reuleaux triangle），也譯作萊洛三角形或弧三角形，又被稱為劃粉形^[1]或曲邊三角形，是除了圓形以外，最簡單易懂的勒洛多邊形，一個定寬曲線。將一個曲線圖放在兩條平行線中間，使之與這兩平行線相切，則可以做到：無論這個曲線圖如何運動，只要它還是在這兩條平行線內，就始終與這兩條平行線相切。這個定義由十九世紀的德國工程師弗蘭茨·勒洛（英語：Franz Reuleaux）命名。

勒洛三角形是一個固定寬度的曲線圖，以一個等邊三角形為基礎。邊上的每個點到對應頂點的距離都是相等的。

繪製

如何繪製一個勒洛三角形

在正方形中滾動的勒洛三角形

使用一個圓規，畫一個大小合適的圓弧。

以同樣的半徑，以第一個圓弧上的一點畫第二個圓弧。

以2個圓的一個交點為圓心，半徑不變，做第三個圓弧。

通過勒貝格積分可以算出，勒洛三角是定寬曲線所能構成的面積最小的圖形，其面積為${\displaystyle {1 \over 2}(\pi -{\sqrt {3}})s^{2}}$，s為定寬寬度。

勒洛三角也是「除了圓形以外，還有什麼形狀的下水道蓋不會掉入下水道？」這個問題的一個答案^[2]。

其他形狀

三維空間

四個相交的球體，其中心為一個勒洛四面體

參見

• 三尖瓣線
• 超橢圓
• 橢圓形光輪（英語：Vesica piscis）
• 汪克爾引擎（Wankel engine）

備註

1. Theoni Pappas, 陳以鴻譯. 《數學放輕鬆》. 臺北縣新店市: 世茂出版社. 2004: P.280. ISBN 9577766110. 引文格式1維護：冗餘文本 (link)
2. Klee, Victor, Shapes of the future, The Two-Year College Mathematics Journal, 1971, 2 (2): 14–27, doi:10.2307/3026963.

• Heinrich Guggenheimer (1977) Applicable Geometry, page 58, Krieger, Huntington ISBN 0-88275-368-1 .

相關資料

• How Round is Your Circle? - book about various geometric properties, including curves and solids of constant width
• Shapes of constant width（頁面存檔備份，存於互聯網檔案館） at cut-the-knot
• Russian-language site with downloadable films about the Reuleaux triangle, also showing the Wankel engine and the mechanics of a famous Soviet film projector^{[永久失效連結]}