克拉梅爾猜想

數學上的克拉梅爾猜想（Cramér's conjecture）是瑞典數學家哈拉爾德·克拉梅爾在1937年提出的關於質數間隙的猜想。^[1]該猜想是說：

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{(\ln p_{n})^{2}}}=1}$，

這裏${\displaystyle p_{n}}$代表第${\displaystyle n}$個質數。該猜想到現在仍未證出或被否證。

關於質數間隙的條件結果

克拉梅爾也提出另一個較弱的關於質數間隙的猜想，指出在黎曼猜想成立的狀況下，有

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O({\sqrt {p_{n}}}\,\ln p_{n})}$。^[1]

目前這方面最好的無條件結果是

${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}=O(p_{n}^{0.525})}$

而這點由R·C·貝克（R. C. Baker）、格林·哈曼（英語：Glyn Harman）和平茨·亞諾什（匈牙利語：Pintz János）三人證出。^[2]

另一方面，E·韋斯欽蒂烏斯（E. Westzynthius）於1931年證明質數間隙成長速度快過對數，也就是說，^[3]

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}=\infty .}$

羅伯特·亞歷山大·蘭金（英語：Robert Alexander Rankin）改進了他的結果，^[4]並證明道

${\displaystyle \limsup _{n\to \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log p_{n}}}\cdot {\frac {\left(\log \log \log p_{n}\right)^{2}}{\log \log p_{n}\log \log \log \log p_{n}}}>0}$

艾狄胥·帕爾猜想表示上式的左側趨近於無限，而這點於2014年由凱文·福特（英語：Kevin Ford (mathematician)）、本·格林（英語：Ben Green (mathematician)）、謝爾蓋·科尼亞金（英語：Sergei Konyagin）和陶哲軒四人組。^[5]以及詹姆斯·梅納德分別證出。^[6]這兩組人馬在該年稍晚將該結果以${\displaystyle \log \log \log p_{n}}$因子進行改進。^[7]

探索性論證

克拉梅爾猜想是基於本質上探索性的概率模型（英語：Probabilistic number theory）之上的，在其中一個大小為x的數是質數的概率是${\displaystyle 1/\log {x}}$。而該結果又稱作「克拉梅爾隨機模型」（Cramér random model）或「克拉梅爾質數模型」（Cramér model of the primes）。^[8]

根據克拉梅爾隨機模型，以下事件的概率為一^[1]：

${\displaystyle \limsup _{n\rightarrow \infty }{\frac {p_{n+1}-p_{n}}{\log ^{2}p_{n}}}=1}$

然而，安德魯·格蘭維爾（英語：Andrew Granville）指出，^[9]根據邁爾定理，克拉梅爾隨機模型不能適切地描述質數在短區間上的分佈，而在考慮可除性後，修正版克拉梅爾模型指向${\displaystyle c\geq 2e^{-\gamma }\approx 1.1229\ldots }$（A125313），其中${\displaystyle \gamma }$是歐拉-馬斯刻若尼常數。平茨·亞諾什則認為該比值的上極限可能發散至無限；^[10]

類似地，倫納德·阿德曼和凱文·麥柯利（Kevin McCurley）寫道：

「由於H. Maier關於相鄰質數間隙的工作之故，學界對克拉梅爾猜想的確實公式起了疑問…（中略）因此很有可能對於任意的常數${\displaystyle c>2}$而言，總存在一個常數，使得${\displaystyle x}$和${\displaystyle x+d(\log x)^{c}}$有一個質數。」^[11]

類似地，羅賓·維瑟（Robin Visser）寫道：

「事實上，由於格蘭維爾的工作之故，現在學界普遍相信克拉梅爾猜想是錯的。實際上也確實有邁爾定理等關於短區間的定理，和克拉梅爾模型難以兼容。」^[12]

相關猜想和探索

質數間隙函數

丹尼爾·尚克斯（英語：Daniel Shanks）猜想表示對質數間隙而言，下列比克拉梅爾猜想來得強的非病態公式成立：^[13] ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x}$

J·H·卡德韋爾（J.H. Cadwell）^[14]則提出下列何質數間隙有關的公式： ${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-\log x\log \log x}$ 該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了低次項。

馬雷克·沃爾夫（Marek Wolf）^[15]則猜想在以質數計數函數${\displaystyle \pi (x)}$表示的狀況下，最大質數間隙${\displaystyle G(x)}$如下：

${\displaystyle G(x)\sim {\frac {x}{\pi (x)}}(2\log \pi (x)-\log x+c),}$

其中${\displaystyle c=\log(C_{2})=0.2778769...}$和${\displaystyle C_{2}=1.3203236...}$是孿生質數常數的兩倍，可見A005597和A114907的相關內容。再一次地，該公式和尚克斯猜想在形式上一致，但同時提出了如下的低次項：

${\displaystyle G(x)\sim \log ^{2}x-2\log x\log \log x-(1-c)\log x.}$

托馬斯·雷·奈斯利（德語：Thomas Ray Nicely）（發現奔騰浮點除錯誤的數學家）曾對許多大質數間隙進行計算，^[16]他藉由下列公式來計算質數間隙與克拉梅爾猜想相契合的程度：

${\displaystyle R={\frac {\log p_{n}}{\sqrt {p_{n+1}-p_{n}}}}}$

他寫道「即使對於已知最大的質數間隙，${\displaystyle R}$的值都維持在1.13左右」。

參見

• 質數定理
• 勒讓德猜想和安德里卡猜想─兩個遠遠較弱但依舊未證出的關於質數間隙上界的猜想。
• 菲魯茲巴赫特猜想
• 邁爾定理─一個關於短區間質數個數且克拉梅爾模型給出錯誤預測的定理。

參考資料

1. Cramér, Harald, On the order of magnitude of the difference between consecutive prime numbers (PDF), Acta Arithmetica, 1936, 2: 23–46 [2012-03-12], doi:10.4064/aa-2-1-23-46, （原始內容 (PDF)存檔於2018-07-23）
2. R. C. Baker, G. Harman, and J. Pintz, The difference between consecutive primes. II. Proc. London Math. Soc. (3), 83 (2001), no. 3, 532-562
3. Westzynthius, E., Über die Verteilung der Zahlen die zu den n ersten Primzahlen teilerfremd sind, Commentationes Physico-Mathematicae Helsingsfors, 1931, 5: 1–37, JFM 57.0186.02, Zbl 0003.24601 （德語）.
4. R. A. Rankin, The difference between consecutive prime numbers, J. London Math. Soc. 13 (1938), 242-247
5. Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Tao, Terence. Large gaps between consecutive prime numbers. Annals of Mathematics. Second series. 2016, 183 (3): 935–974. arXiv:1408.4505 . doi:10.4007/annals.2016.183.3.4 .
6. Maynard, James. Large gaps between primes. Annals of Mathematics. Second series. 2016, 183 (3): 915–933. arXiv:1408.5110 . doi:10.4007/annals.2016.183.3.3 .
7. Ford, Kevin; Green, Ben; Konyagin, Sergei; Maynard, James; Tao, Terence. Long gaps between primes. Journal of the American Mathematical Society. 2018, 31: 65–105. arXiv:1412.5029 . doi:10.1090/jams/876.
8. Terry Tao, 254A, Supplement 4: Probabilistic models and heuristics for the primes (optional) （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, section on The Cramér random model, January 2015.
9. Granville, A., Harald Cramér and the distribution of prime numbers (PDF), Scandinavian Actuarial Journal, 1995, 1: 12–28 [2007-06-05], doi:10.1080/03461238.1995.10413946, （原始內容 (PDF)存檔於2015-09-23）.
10. János Pintz, Very large gaps between consecutive primes, Journal of Number Theory 63:2 (April 1997), pp. 286–301.
11. Leonard Adleman（英語：Leonard Adleman） and Kevin McCurley, Open Problems in Number Theoretic Complexity, II. Algorithmic number theory (Ithaca, NY, 1994), 291–322, Lecture Notes in Comput. Sci., 877, Springer, Berlin, 1994.
12. Robin Visser, Large Gaps Between Primes （頁面存檔備份，存於互聯網檔案館）, University of Cambridge (2020).
13. Shanks, Daniel, On Maximal Gaps between Successive Primes, Mathematics of Computation (American Mathematical Society), 1964, 18 (88): 646–651, JSTOR 2002951, Zbl 0128.04203, doi:10.2307/2002951 .
14. Cadwell, J. H., Large Intervals Between Consecutive Primes, Mathematics of Computation, 1971, 25 (116): 909–913, JSTOR 2004355, doi:10.2307/2004355 
15. Wolf, Marek, Nearest-neighbor-spacing distribution of prime numbers and quantum chaos, Phys. Rev. E, 2014, 89 (2): 022922 [2024-01-09], Bibcode:2014PhRvE..89b2922W, PMID 25353560, S2CID 25003349, arXiv:1212.3841 , doi:10.1103/physreve.89.022922, （原始內容存檔於2024-06-04）
16. Nicely, Thomas R., New maximal prime gaps and first occurrences, Mathematics of Computation, 1999, 68 (227): 1311–1315, Bibcode:1999MaCom..68.1311N, MR 1627813, doi:10.1090/S0025-5718-99-01065-0 .

• Guy, Richard K. Unsolved problems in number theory 3rd. Springer-Verlag. 2004. A8. ISBN 978-0-387-20860-2. Zbl 1058.11001.
• Pintz, János. Cramér vs. Cramér. On Cramér's probabilistic model for primes. Functiones et Approximatio Commentarii Mathematici. 2007, 37 (2): 361–376 [2024-01-09]. ISSN 0208-6573. MR 2363833. Zbl 1226.11096. doi:10.7169/facm/1229619660 . （原始內容存檔於2020-06-26）.
• Soundararajan, K. The distribution of prime numbers. Granville, Andrew; Rudnick, Zeév (編). Equidistribution in number theory, an introduction. Proceedings of the NATO Advanced Study Institute on equidistribution in number theory, Montréal, Canada, July 11--22, 2005. NATO Science Series II: Mathematics, Physics and Chemistry 237. Dordrecht: Springer-Verlag. 2007: 59–83. ISBN 978-1-4020-5403-7. Zbl 1141.11043.

外部連結

• 埃里克·韋斯坦因. Cramér Conjecture. MathWorld.
• 埃里克·韋斯坦因. Cramér-Granville Conjecture. MathWorld.