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幾何學的佩多不等式,是關連兩個三角形的不等式,以唐·佩多(Don Pedoe)命名。這不等式指出:如果第一個三角形的邊長為,面積為,第二個三角形的邊長為,面積為,那麼:
此條目沒有列出任何參考或來源。 (2019年1月13日) |
再由柯西不等式,
於是,
命題得證。
等號成立若且唯若,也就是說兩個三角形相似。
三角形的面積與邊長的平方成正比,因此在要證的式子兩邊同乘一個係數,使得,幾何意義是將第二個三角形取相似(如右圖)。 設這時A、B、C變成x、y、z,F變成F'。 考慮 AA' 的長度。由余弦公式,
將,
代入就變成:
兩邊化簡後同時乘以,並注意到a=x,就可得到原不等式。 等號成立若且唯若A與A'重合,即兩個三角形相似。
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