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在量子力學裏,位置算符(position operator)是一種量子算符。對應於位置算符的可觀察量是粒子的位置。位置算符的本徵值是位置向量。採用狄拉克標記,位置算符 的本徵態 滿足方程式
其中, 是本徵值,是量子態為 的粒子所處的位置, 只是一個數值。
設定量子態 。量子態 、 的位置空間表現,即波函數,分別定義為
在位置空間裏,定義算符 為
在位置空間裏,使用連續本徵態 所組成的基底,任意量子態 展開為
將量子算符 作用於量子態 ,可以得到
應用狄拉克正交歸一性, ,這方程式與包量 的內積為
量子態 的展開式為
應用狄拉克正交歸一性,這方程式與包量 的內積為
所以,兩個波函數 、 之間的關係為
總結,位置算符 作用於量子態 的結果 ,表現於位置空間,等價於波函數 與 的乘積 。位置算符 的位置空間表現是位算符 ,可以稱算符 為位置算符。
假設,在位置空間裏,位置算符 的本徵值為 的本徵函數是 。用方程式表達,[1]
這方程式的一般解為,
其中, 是常數, 是狄拉克δ函數。
注意到 無法歸一化:
設定 ,函數 滿足下述方程式:
這性質不是普通的正交歸一性,這性質稱為狄拉克正交歸一性。因為這性質,位置算符的本徵函數具有完備性,也就是說,任意波函數 都可以表達為本徵函數的線性組合:
雖然本徵函數 所代表的量子態是無法實際體現的,並且嚴格而論,不是一個函數,它可以視為代表一種理想量子態,這種理想量子態具有準確的位置 ,因此,根據不確定性原理,這種理想量子態的動量呈均勻分佈。
採用位置空間表現,設想一個移動於一維空間的量子粒子。在這裏,希爾伯特空間是 ,是實值定義域的平方可積函數的空間。[2]:11兩個態向量的內積是
對於任意量子態 ,可觀察量 的期望值為
位置算符 作用於量子態 的結果,表現於位置空間,等價於波函數 與 的乘積,所以,
粒子處於 與 微小區間內的機率是
粒子位置與機率的乘積在位置空間的積分,就是粒子位置的期望值。
推廣至三維空間相當直截了當,參數為三維位置 的波函數為 ,位置的期望值為[2]:41-42
其中, 是積分體積。
位置算符 的作用為
位置算符與動量算符的對易算符,當作用於波函數時,會得到一個簡單的結果:
所以, 。這關係稱為位置算符與動量算符的對易關係。由於兩者的對易關係不等於 0 ,位置與動量彼此是不相容可觀察量。 與 絕對不會擁有共同的基底量子態。一般而言, 的本徵態與 的本徵態不同。
根據不確定性原理,
由於 與 是兩個不相容可觀察量, 。所以, 的不確定性與 的不確定性的乘積 ,必定大於或等於 。
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